離散系統的解析描述--建立差分方程
1. 差分的定義
移位序列：設有序列f(k), 則… , f(k+2), f(k+1), f(k-1)，f(k-2)，… 等稱爲f(k)的移位序列。
差分運算：
一階前向差分定義：
一階後向差分定義：
我們主要用後向差分，簡稱爲差分
差分的線性性質：
二階差分定義：
m階差分：
2. 差分方程
差分方程：由未知輸出序列項與輸入序列項構成的方程。
差分方程的一般形式：
方程的階數：未知變量最高序號與最低序號的差。
由n階差分方程描述的系統稱爲n階系統。
描述LTI離散系統的是線性常係數差分方程
差分方程的模擬框圖
1.基本部件單元
數乘器
加法器
遲延單元(移位器)
2. 由框圖建立差分方程
例 已知框圖，寫出系統的差分方程
差分方程的經典解法
1.遞推迭代
差分方程本質上是遞推的代數方程，若已知初始條件和激勵，利用迭代法可求得其數值解
注：迭代法一般不易得到解析形式的(閉合)解。
2.經典法
與連續系統的微分方程經典解類似，差分方程的解由齊次解yh(k)和特解yp(k)兩部分組成，即
齊次解是對應齊次差分方程的解：
由特徵根可以設定齊次解的函數形式。
特解的函數形式與激勵的函數形式有關。
3.齊次解的常用函數形式
4.特解的常用函數形式
說明：差分方程的齊次解也稱爲系統的自由響應，特解也稱爲強迫響應。本例中由於|λ|>1，故自由響應隨k的增大而增大。
解：(1) 列出y(k)的差分方程
零輸入響應的定義和求解
1.零輸入響應的定義
零輸入響應：離散系統的激勵爲零，僅由系統的初始狀態引起的響應，用yzi(k)表示。
2.初始值的確定
3.求解步驟
(1)求特徵方程的特徵根;
(2)設定齊次解；
(3)直接代入初始狀態 yzi(-l), l = 0, 1, … n-1, 求待定係數
零狀態響應的定義和求解
1.零狀態響應的定義
零狀態響應：系統的初始狀態yzs(-l)=0, l =1, 2, … n，爲零，僅由激勵 f(k)引起的響應，用yzs (k)表示。
2.初始值的確定
由迭代法求出初始值yzs(j)， j= 0, 1, …n-1
3.求解步驟
(1)設定齊次解；
(2)設定特解，代入方程求解；
(3)代入初始值，求待定係數
斐波那契(Fibonacci)數列問題
假設每對大兔子每個月生一對小兔子，而每對小兔子一個月後長成大兔子，而且不會死亡。在最初一個月內有一對大兔子，問第n個月時一共有幾對兔子.
解：每一個月中兔子的對數就構成了一個離散的時間信號。列出描述該問題的差分方程。
設y(k)爲第k個月兔子對的數量。
第k個月兔子無論大小，在第k+1個月都會成爲大兔子，從而在第k+2 個月中生出y(k)個小兔子
第k個月兔子無論大小，在第k+1個月都會成爲大兔子，從而在第k+2 個月中生出y(k)個小兔子
而第k+2月中兔子的總個數y(k+2)等於大兔子對數y(k+1)與小兔子對的數量y(k)之和;
y(k+2)=y(k+1)+y(k)
這就是斐波那契數列問題的差分方程，即：
y(k+2)-y(k+1)-y(k)=0
簡單空運控制系統
一個空運控制系統，它用一臺計算機每隔一秒鐘計算一次某飛機應有的高度x(k)，另外用一雷達同時對此飛機實測一次高度y(k)，把應有高度x(k)與一秒鐘前的實測高度y(k-1)相比較得一差值，飛機的高度將根據此差值爲正或爲負來改變。試建立該問題的差分方程。
解：從第k-1秒到第 k秒這1秒鐘內飛機升高爲
K[x(k) - y(k -1)] = y(k) - y(k -1)
整理得：
y(k) +(K -1)y(k -1) = Kx(k)
RC取樣輸入和輸出關係
一個RC電路如左圖所示，輸入端加取樣電壓信號e(t)，如右圖所示。試寫出此係統每隔時間T輸出電壓u(k)與輸入信號間關係的差分方程。
解：取樣信號e(t)表示爲如下衝激序列之和
上式即爲描述輸出離散電壓與輸入取樣電壓間關係的差分方程。
Matlab求解離散系統的零狀態響應
在零狀態時，MATLAB工具箱提供了一個filter函數，計算由差分方程描述的系統響應，其調用格式爲
其中b=[b0,b1,b2,…, bm]，a=[a0,a1,a2,…, an]分別是差分方程左右的係數向量，f表示輸入序列，y表示系統的零狀態響應。注意輸出和輸入序列的長度相同。
解：
R=51; %輸入信號長度
d=rand(1,R)-0.5; %產生離散隨機數
k=0:R-1;
s=2*k.*(0.9.^k);
f=s+d;
figure(1);stem(k,f,‘.’); %顯示加噪信號
M=5;b=ones(M,1)/M; % f 前係數均爲1/M
a=1;
y=filter(b,a,f); %求零狀態響應
figure(2);
stem(k,y,‘.’); %顯示平滑濾波結果
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