极小曲面

极小曲面

肖映泰 PB15000105

一、算法
定义：平均曲率处处为0

H(vi)=0, ∀i$$H(v_i)=0,\mathrm{\forall }i$$

平均曲率

limlen(γ)→01len(γ)∫v∈γ(vi−v)ds=H(vi)ni$$\underset{len(\gamma )\to 0}{lim}\frac{1}{len(\gamma )}{\int }_{v\in \gamma }(v_i-v)ds=H(v_i)n_i$$

离散化后得到

1di∑v∈N(i)（vi−v)=0$$\frac{1}{d_i}\sum _{v\in N(i)}（v_i-v)=0$$

化简后也就是

vi−1di∑j∈Nivj=0, ∀i$$v_i-\frac{1}{d_i}\sum _{j\in N_i}{v}_j=0,\mathrm{\forall }i$$

其中di$d_i$ 指的是顶点vi$v_i$ 的度数

1.全局方法
将所有的点的方程联立一起求解

L(i,j)=⎧⎩⎨⎪⎪deg(vi)−1δ,1≤i=j≤n,1≤i≤n,i≠j,n<i≤n+m$$L(i,j)=\{\begin{array}{rl}deg(v_i)& ,1\le i=j\le n\\ -1& ,1\le i\le n,i\ne j\\ \delta & ,n<i\le n+m\end{array}$$

b(i)={0vi,1≤i≤n,n<i≤n+m$$b(i)=\{\begin{array}{rl}0& ,1\le i\le n\\ v_i& ,n<i\le n+m\end{array}$$

求解全局方程

Lv=b$$Lv=b$$

2.局部方法：迭代
*找到边界
*固定边界
*内部顶点更新

迭代方式：
a.边界点固定不动
b.对于内部点vi$v_i$ ，求出δi=vi−1di∑j∈Nivj${\delta }_i=v_i-\frac{1}{d_i}\sum _{j\in N_i}{v}_j$
计算更新vi$v_i$ 座标vi(new)=ϵδi+vi$v_i(new)=ϵ{\delta }_i+v_i$
c.重复b步骤k次，k为迭代次数

二、实验结果

三、总结
可以看出全局方法求解更快，迭代方法大概800次后和全局法得到相似的结果。