Fast Fourier Transportation(FFT)
·多项式的表达
系数表达
对于一个次数界为n的多项式A(x)=∑j=0n−1ajxj而言,其系数表达是由一个系数组成的向量a=(a0,a1,...,an−1)。
点值表达
一个次数界为n的多项式A(x)的点值表达就是一个由n个点值对所组成的集合
(x0,y0),(x1,y1),...,(xn−1,yn−1)
使得对k=0,1,…,n-1,所有xk各不相同,
yk=A(xk)
简单的求点值运算我们可以随意代入n个不相同的数,然后得出点对,时间复杂度Θ(n2)。后面可以看到,如果我们用一点巧妙的取值,可以使时间复杂度优化到Θ(nlg2n)。
求值计算的逆(从一个多项式的点值表达确定的系数表达形式)称为插值。
·多项式运算
Cj=k=0∑jAkBj−k
上述是多项式的乘法,我们把C称为A和B的卷积(convolution),表示成C=A⨂B。
FFT的主要思路是首先把A和B转成点值表达,然后得到C的点值表达,再逆着做一遍,得到C的系数表达。
·DFT与FFT
上述做法太慢,我们要用Θ(n2)的时间把每个多项式转成点值表达,然后再用Θ(n2)的时间转回来,明显很慢,还不如暴力。
我们想,可不可以使用某些特殊的数,使得每次可以做一次运算就可以得到多个数的呢?答案是有的:单位根复数根
n次单位复数根是满足ωn=1的复数ω。n次单位复数根恰好有n个,对于k=0,1,…,n-1,这些根是eπik/n。为了解释这个表达式,我们用复数的指数形式来定义:
eiu=cos(u)+isin(u)
也就是给定一个单位圆,上面均匀地分布着n个向量,如图:
·关于n次单位复根
以上图为例我们可以发现,每一个n(这里是8)次单位复根都是一个向量,他们在乘法意义下形成一个群。
引理1:(消去引理)
对于任意整数n⩾0,k⩾0,以及d>0,
ωdkdk=ωnk
证明
ωdkdk=(e2πi/dn)dk=(e2πi/n)k=ωnk
引理2:(折半引理)
如果n>0为偶数,那么n个n次单位根的平方集合就是n/2个n/2次单位根的集合
证明
(ωnk+n/2)2=ωn2k+n=ωn2kωnn=(ωnk)2
因此ωnk与ωnk+n/2平方相等。
引理3:(求和引理)
对于任意整数n⩾0和不能被n整除的非负整数k,有
j=0∑n−1(ωnk)j=0
证明
j=0∑n−1(ωnk)j=1−ωnk(ωnk)0(1−(ωnk)n)=ωnk−1(ωnn)k−1=ωnk−1(1)k−1=0
因为要求k不能被n整除,而且仅当k被n整除时ωnk=1成立,同时保证分母不为0。
DFT
回顾一下,我们希望计算次数界为n的多项式
A(x)=j=0∑n−1ajxj
在ωn0,ωn1,...,ωnn−1处的值。假设A以系数形式给出,接下来定义结果yk:
yk=A(ωnk)=j=0∑n−1ajωnkj
向量y=(y0,y1,...,yn−1)就是系数向量a=(a0,a1,...,an−1)的离散傅里叶变换(DFT)。我们也记作y=DFTn(a)。
FFT
通过使用一种称为快速傅里叶变换(FFT)的方法,利用复根的特殊性质,我们就可以在Θ(nlgn)的时间内计算出DFTn(a)。
注意:通篇的n我们假设是2的整数次幂。
FFT利用分治策略,采用A(x)中偶数下标的系数与奇数下标的系数,分别定义两个新的次数界为n/2的多项式
A[0](x)=a0+a2x+a4x2+...+an−2xn/2−1
A[1](x)=a1+a3x+a5x2+...+an−1xn/2−1
可以很容易发现
A(x)=A[0](x2)+xA[1](x2)
所以原问题转化为求两个次数界为n/2的多项式A[0](x)和A[1](x)在点(ωn0)2,(ωn1)2,...,(ωnn−1)2的取值。
所以我们可以发现在求出A[0](x2)和A[1](x2)以后,可以算出两个复根的结果:
yk=yk[0]+ωnkyk[1]=A[0](ωn2k)+ωnkA[1](ωn2k)=A(ωnk)
还有
yk+(n/2)=yk[0]−ωnkyk[1]=yk[0]+ωnk+(n/2)yk[1]=A[0](ωn2k)+ωk+(n/2)A[1](ωn2k)
=A[0](ωn2k+n)+ωk+(n/2)A[1](ωn2k+n)=A(ωnk+(n/2))
所以就有代码:
void FFT(comp *a,int n,int inv){
if(n==1) return;
int mid=n/2;
for (int i=0;i<mid;++i) c[i]=a[i*2],c[i+mid]=a[i*2+1];
for (int i=0;i<n;++i) a[i]=c[i];
FFT(a,mid,inv);
FFT(a+mid,mid,inv);
comp wn={cos(2.0*pi/n),inv*sin(2.0*pi/n)},w={1,0};
for (int i=0;i<mid;++i,w=w*wn){
c[i]=a[i]+w*a[i+mid];
c[i+mid]=a[i]-w*a[i+mid];
}
for (int i=0;i<n;++i) a[i]=c[i];
}
·在单位复数根的插值
现在我们展示如何在单位复数根处插值来完成多项式乘法方案,使得我们把一个多项式从点值表达转换回系数表达。
我们可以把DFT写成矩阵乘积
⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡y0y1y2⋮yn−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡1111⋮11ωnωn2ωn3⋮ωnn−11ωn2ωn4ωn6⋮ωn2(n−1)1ωn3ωn6ωn9⋮ωn3(n−1)⋯⋯⋯⋯⋱⋯1ωnn−1ωn2(n−1)ωn3(n−1)⋮ωn(n−1)(n−1)⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎡a0a1a2⋮an−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎤
尴尬的是跑得贼慢:
随便卡卡就爆了…
分治难免递归,递归常数大。
于是,考虑改进。
·蝴蝶变换
盗图一张
可以发现,每个下标的二进制形式反过来就是它们最后在序列中的位置。
于是就有了迭代打法。
void FFT(Moon *a,int inv){
int i,j,len;
for (i=0;i<n;++i)
if(i<R[i])swap(a[i],a[R[i]]);
for (len=2;len<=n;len<<=1){
int half=len/2;
Moon w,wn={cos(Pi/half),inv*sin(Pi/half)};
for (j=0;j<n-i;j+=len,w={1,0}){
for (i=0;i<half;++i,w=w*wn){
Moon q=w*a[j+half+i],Q=a[j+i];
a[j+half+i]=Q-q;
a[j+i]=Q+q;
}
}
}
}
int main(){
for (i=0;i<n;++i) R[i]=(R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(p-1));
}