【Codechef POLYEVAL Evaluate the polynomial】【FFT】

題意

$n$次多項式模$p$意義下多點求值。
$n\le 250000, p=786433$

分析

可以直接上$O(n\log^2n)$的多項式多點求值（不可能的）。

首先$786433=2^{18}*3+1$，可以取$n=2^{18}$。

注意到，DFT的過程本身就是特殊的多點求值，對應的橫座標分別是$\omega^0,\omega,\cdots,\omega^{n-1}$，其中$\omega$是$n$次單位根。在NTT中，模$p$意義下$n$次單位根取的是$\omega_n=g^{\frac{p-1}{n}}=g^3$

其中$g$是$p$的一個原根。如果我們直接對多項式做DFT，就可以得到$1$到$p-1$中，離散對數是$3$的倍數的數的點值。注意到$\sum_{i=0}^na_ix^i=\sum_{i=0}^na_ir^i\Big(\frac{x}{r}\Big)^i$

如果我們構造新多項式的$i$次項係數爲$a_ir^i$，求出來$x'$的點值，對應的就是原多項式中$x'r$的點值。那麼就把求離散對數爲$3k+1$的數的點值轉化爲了求新多項式中離散對數爲$3k$的數的點值，直接套用上面的方法。同理離散對數爲$3k+2$的數的點值也可以這麼做。

總共只需要做三次DFT。注意當$x=0$時取值爲$a_0$。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 300005;
const int MOD = 786433;
const int g = 10;

int n, a[N], b[N], c[N], rev[N], L, ans[MOD];

void pre()
{
	int lg = 18; L = 1 << 18;
	for (int i = 0; i < L; i++) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (lg - 1));
}

int ksm(int x, int y)
{
	int ans = 1;
	while (y)
	{
		if (y & 1) ans = (LL)ans * x % MOD;
		x = (LL)x * x % MOD; y >>= 1;
	}
	return ans;
}

void NTT(int * a)
{
	for (int i = 0; i < N; i++) if (i < rev[i]) swap(a[i], a[rev[i]]);
	for (int i = 1; i < L; i <<= 1)
	{
		int wn = ksm(g, (MOD - 1) / i / 2);
		for (int j = 0; j < L; j += (i << 1))
		{
			int w = 1;
			for (int k = 0; k < i; k++)
			{
				int u = a[j + k], v = (LL)a[j + k + i] * w % MOD;
				a[j + k] = (u + v) % MOD; a[j + k + i] = (u + MOD - v) % MOD;
				w = (LL)w * wn % MOD;
			}
		}
	}
}

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 0; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
	ans[0] = a[0];
	pre();
	for (int i = 0; i <= n; i++) b[i] = (LL)a[i] * ksm(g, i) % MOD, c[i] = (LL)a[i] * ksm(g, i * 2) % MOD;
	NTT(a); NTT(b); NTT(c);
	int t1 = 1, t2 = g, t3 = (LL)g * g % MOD, p = (LL)t3 * g % MOD;
	for (int i = 0; i < L; i++)
	{
		ans[t1] = a[i]; ans[t2] = b[i]; ans[t3] = c[i];
		t1 = (LL)t1 * p % MOD;
		t2 = (LL)t2 * p % MOD;
		t3 = (LL)t3 * p % MOD;
	}
	int q; scanf("%d", &q);
	while (q--)
	{
		int x; scanf("%d", &x);
		printf("%d\n", ans[x]);
	}
	return 0;
}