一元方程的求根公式

最近看了看方程的求解方法，感覺挺有意思的，加之最近新換了實習，又要寫畢業論文，實在太忙，沒時間寫博客，就拿這個寫一篇博客吧

方程的求根公式

要得到一元方程的求根公式，就得先定義什麼是一元方程，什麼是求根公式。方程是指等式連接的兩個式子（相信大家都明白），一元方程是指方程中只含有一個未知數的方程。求根公式就是通過方程的係數進行有限次加減乘除開方運算得到的根的值的公式。重點是有限次加減乘除開方，這些運算都被定義爲初等運算。

韋恩公式

韋恩公式指出，一元$n$次方程有$n$個根（有可能有重根，重根算多個），這是因爲一元多次方程可以寫成元和根相減相乘的形式：
$(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)=0$

展開之後可以得到根的和和根的積與係數的關係。

一元一次方程

形如
$ax+b=0,a \neq 0$
的方程被稱做一元一次方程，它的求根公式是
$x=-\frac{b}{a}$
一元方程的意義是通過求解一元方程，人們知道了負數和分數。

一元二次方程

形如
$ax^2+bx+c=0,a \neq 0$
的方程被稱做一元二次方程，求解它運用到的技巧就是配方法
$x^2+\frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2}$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

二元方程的意義是通過求解一元方程，人們知道了無理數（發現二次方程求根公式時人們還不知道有虛數，因爲可以通過根的判別式$\Delta=b^2-4ac$是否大於0，來確定方程有沒有實數根而避免得到複數根）。

一元三次方程

形如
$ax^3+bx^2+cx+d=0, a \neq 0$
的方程被稱做一元三次方程。一元一次二次方程求解都比較容易，三次方程求解很需要技巧了，首先我們可以通過變量代換來降低方程的複雜度，將$x=y-\frac{b}{3a}$來把方程的二次項消掉，然後把方程左右兩邊都除$a$使得最高次項變爲1，得到
$y^3=py+q$

顯然$p$和$q$都可以通過$a,b,c$來表示。然後到最巧妙的地方了，因爲我們知道立方展開公式：
$(m+n)^3=m^3+3m^2n+3mb^3+n^3=3mn(m+n)+(m^3+n^3)$

這樣，設$y=m+n$，那麼
$p=3mn$

$q=m^3+n^3$

也就是說
$m^3n^3=\frac{q^3}{27}$

$m^3+n^3=q$

根據韋恩公式我們知道這就一元二次方程的兩根之和以及兩根之積的形式，通過一元二次方程的求根公式我們可以得到$m^3$和$n^3$。但是韋恩公式也告訴我們，一元三次方程應該有3個根，這說明$x^3=1$不只有一個根1，那缺了啥根？立方差公式我們可以得
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

這說明$x^2+x+1$還隱藏了兩個非實數根，我們定義虛數$i=\sqrt{-1}$，然後通過二次方程的求根公式可以得到另外兩個虛數根從而求方程的三個根。
我們再理一下邏輯，首先通過變量代換將一般的三次方程變爲沒有沒有二次項的三次方程，再通過立方展開公式將三次方程降次到二次方程從而可解，然後的到其中一個根（不妨設爲$m^3$）開三次放得到三個值，然後通過$p=3mn$得到對應的$n$，然後$x=y-\frac{b}{3a}=m+n-\frac{b}{3a}$得到原方程的根。

一元四次方程

形如
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, a \neq 0$
的方程被稱做一元四次方程。和處理三次方程一樣，我們可以通過變量替換法消掉立方項從而得到
$x^4+px^2+qx+r=0$

拉普拉斯給出了一個很巧妙的解法，首先，把上面的方程變爲
$x^4+px^2+qx+r=(x^2+mx+n)(x^2+kx+l)$

如果能找到這樣的變換，二次方程我們又會解，那豈不是能得到原方程的解麼。下面我們的問題就變成了求$m,n,k,l$和$p,q,r$的關係，根據對應次項的係數相等的關係可得：
$\begin{cases} m+k=0 \\ l+n+mk=p \\ ml+kn=q \\ ln=r \end{cases}$
變換可得
$\begin{cases} m=-k \\ n+l=p+k^2 \\ n-l=\frac{q}{k} \\ ln=r \end{cases}$
把他們化成只含有$k$的形式可得
$\begin{cases} m=-k \\ n=\frac{1}{2}(k^2+p+\frac{q}{k}) \\ l=\frac{1}{2}(k^2+p-\frac{q}{k}) \\ (k^2+p+\frac{q}{k})(k^2+p-\frac{q}{k}) =4r \end{cases}$
展開最後一個等式可得
$k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2$
這個對於$k^2$來說是個三次方程。我們已經知道三次方程的求根公式，繼而可以得到$k$，得到$k$之後就可以得到$m,n,l$，從而可以把四次方程變爲兩個二次方程的乘積，二次方程我們又可解，從而能得到四次方程的求根公式。

一元五次及以上方程

一元五次方程沒有一般的求根公式，但爲啥沒有求根公式一直困擾着人們。直到羣論的出現才使得解開了這個問題的真相。羣論本科時候選數學二學位學過，研究生也選了近世代數，但是不幸的是。。。都忘光了。但是大概的意思我還記得，我就簡要說一下我的理解。根據韋恩公式我們可以知道，係數其實就是根的和與積的一些組合，但是這些關係有個特點，就是有對稱性，也就是說，$x+y=a,xy=b$，把$x,y$的值交換並不影響等式的成立，也就是說無法通過係數直接求出每個根對應的值，如果想求出他們，就得破除這些對稱性，例如得到$x-y=c$，這樣才能得到對應的值，而五次方程及以沒辦法構造這種不對稱性，所以沒有一般的求根公式。

求根公式的意義

人們通過推導求根公式，不斷擴充了數域，自然數（不算是數域，因爲對於加減乘除不封閉）–>整數–>有理數域（一元一次方程）–>實數域（一元二次方程）–>複數域（一元三次方程），最後發展出了羣論。感覺有空可以複習一下羣論，這幫人真是太聰明瞭。