一元方程的求根公式

最近看了看方程的求解方法，感觉挺有意思的，加之最近新换了实习，又要写毕业论文，实在太忙，没时间写博客，就拿这个写一篇博客吧

方程的求根公式

要得到一元方程的求根公式，就得先定义什么是一元方程，什么是求根公式。方程是指等式连接的两个式子（相信大家都明白），一元方程是指方程中只含有一个未知数的方程。求根公式就是通过方程的系数进行有限次加减乘除开方运算得到的根的值的公式。重点是有限次加减乘除开方，这些运算都被定义为初等运算。

韦恩公式

韦恩公式指出，一元$n$次方程有$n$个根（有可能有重根，重根算多个），这是因为一元多次方程可以写成元和根相减相乘的形式：
$(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)=0$

展开之后可以得到根的和和根的积与系数的关系。

一元一次方程

形如
$ax+b=0,a \neq 0$
的方程被称做一元一次方程，它的求根公式是
$x=-\frac{b}{a}$
一元方程的意义是通过求解一元方程，人们知道了负数和分数。

一元二次方程

形如
$ax^2+bx+c=0,a \neq 0$
的方程被称做一元二次方程，求解它运用到的技巧就是配方法
$x^2+\frac{b}{2a}+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{(2a)^2}$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

二元方程的意义是通过求解一元方程，人们知道了无理数（发现二次方程求根公式时人们还不知道有虚数，因为可以通过根的判别式$\Delta=b^2-4ac$是否大于0，来确定方程有没有实数根而避免得到复数根）。

一元三次方程

形如
$ax^3+bx^2+cx+d=0, a \neq 0$
的方程被称做一元三次方程。一元一次二次方程求解都比较容易，三次方程求解很需要技巧了，首先我们可以通过变量代换来降低方程的复杂度，将$x=y-\frac{b}{3a}$来把方程的二次项消掉，然后把方程左右两边都除$a$使得最高次项变为1，得到
$y^3=py+q$

显然$p$和$q$都可以通过$a,b,c$来表示。然后到最巧妙的地方了，因为我们知道立方展开公式：
$(m+n)^3=m^3+3m^2n+3mb^3+n^3=3mn(m+n)+(m^3+n^3)$

这样，设$y=m+n$，那么
$p=3mn$

$q=m^3+n^3$

也就是说
$m^3n^3=\frac{q^3}{27}$

$m^3+n^3=q$

根据韦恩公式我们知道这就一元二次方程的两根之和以及两根之积的形式，通过一元二次方程的求根公式我们可以得到$m^3$和$n^3$。但是韦恩公式也告诉我们，一元三次方程应该有3个根，这说明$x^3=1$不只有一个根1，那缺了啥根？立方差公式我们可以得
$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$

这说明$x^2+x+1$还隐藏了两个非实数根，我们定义虚数$i=\sqrt{-1}$，然后通过二次方程的求根公式可以得到另外两个虚数根从而求方程的三个根。
我们再理一下逻辑，首先通过变量代换将一般的三次方程变为没有没有二次项的三次方程，再通过立方展开公式将三次方程降次到二次方程从而可解，然后的到其中一个根（不妨设为$m^3$）开三次放得到三个值，然后通过$p=3mn$得到对应的$n$，然后$x=y-\frac{b}{3a}=m+n-\frac{b}{3a}$得到原方程的根。

一元四次方程

形如
$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0, a \neq 0$
的方程被称做一元四次方程。和处理三次方程一样，我们可以通过变量替换法消掉立方项从而得到
$x^4+px^2+qx+r=0$

拉普拉斯给出了一个很巧妙的解法，首先，把上面的方程变为
$x^4+px^2+qx+r=(x^2+mx+n)(x^2+kx+l)$

如果能找到这样的变换，二次方程我们又会解，那岂不是能得到原方程的解么。下面我们的问题就变成了求$m,n,k,l$和$p,q,r$的关系，根据对应次项的系数相等的关系可得：
$\begin{cases} m+k=0 \\ l+n+mk=p \\ ml+kn=q \\ ln=r \end{cases}$
变换可得
$\begin{cases} m=-k \\ n+l=p+k^2 \\ n-l=\frac{q}{k} \\ ln=r \end{cases}$
把他们化成只含有$k$的形式可得
$\begin{cases} m=-k \\ n=\frac{1}{2}(k^2+p+\frac{q}{k}) \\ l=\frac{1}{2}(k^2+p-\frac{q}{k}) \\ (k^2+p+\frac{q}{k})(k^2+p-\frac{q}{k}) =4r \end{cases}$
展开最后一个等式可得
$k^6+2pk^4+(p^2-4r)k^2-q^2$
这个对于$k^2$来说是个三次方程。我们已经知道三次方程的求根公式，继而可以得到$k$，得到$k$之后就可以得到$m,n,l$，从而可以把四次方程变为两个二次方程的乘积，二次方程我们又可解，从而能得到四次方程的求根公式。

一元五次及以上方程

一元五次方程没有一般的求根公式，但为啥没有求根公式一直困扰着人们。直到群论的出现才使得解开了这个问题的真相。群论本科时候选数学二学位学过，研究生也选了近世代数，但是不幸的是。。。都忘光了。但是大概的意思我还记得，我就简要说一下我的理解。根据韦恩公式我们可以知道，系数其实就是根的和与积的一些组合，但是这些关系有个特点，就是有对称性，也就是说，$x+y=a,xy=b$，把$x,y$的值交换并不影响等式的成立，也就是说无法通过系数直接求出每个根对应的值，如果想求出他们，就得破除这些对称性，例如得到$x-y=c$，这样才能得到对应的值，而五次方程及以没办法构造这种不对称性，所以没有一般的求根公式。

求根公式的意义

人们通过推导求根公式，不断扩充了数域，自然数（不算是数域，因为对于加减乘除不封闭）–>整数–>有理数域（一元一次方程）–>实数域（一元二次方程）–>复数域（一元三次方程），最后发展出了群论。感觉有空可以复习一下群论，这帮人真是太聪明了。