概率統計學習筆記（1）

1 隨機試驗

• 可以在相同條件下重複進行（世界上有絕對的相同條件嗎？)；
• 每次試驗可能的結果不止一個，但能明確試驗所有可能結果；
• 試驗結果前（被觀察前？）不確定哪一個結果會出現；

2.1 樣本空間、樣本點

隨機試驗$E$所有可能的結果組成的集合稱爲$E$的樣本空間$S$，每個結果稱爲樣本點。

2.2 事件

• 隨機事件：$S$的子集簡稱事件。
• 事件發生：在每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現時。
• 基本事件：由一個樣本點組成的單點集。
• 必然事件：在每次試驗中它總是發生的事件。
• 不可能事件：…都不發生…，記爲$\varnothing$。

2.3 事件是一個集合

2.4 運算定律

• 交換律：
  • $A\cup B=B\cup A;$
  • $A\cap B=B\cap A;$
• 結合律：
  • $A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C；$
  • $A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C；$
• 分配律（右分配律？）：
  • $A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap(A\cup C)；$
  • $A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C)；$
• 德摩根律：
  • $\overline{A\cup B}= \overline{A}\cap \overline{B};$
  • $\overline{A\cap B} = \overline{A}\cup \overline{B}；$

3.1 頻率

• 頻數：$n$次試驗中$A$發生的次數$n_A$
• 頻率：$\frac{n_A}{n}$，$f_n(A)$
• 性質：
  • $0\leq f_n(A)\leq1$
  • $f_n(S) = 1$
  • 若$A_1,...,A_k$兩兩互不相容，則$f_n(A_1\cup...\cup A_k)= f_n(A_1)+...+f_n(A_k)$
• 統計規律性：大量試驗證實，當重複試驗的次數$n$逐漸增大時，頻率$f_n(A)$呈現出穩定性，逐漸穩定於某個常數，這種“頻率穩定性”即通常所說的統計規律性。

3.2 概率

• 定義：
  設$E$是隨機試驗，$S$是它的樣本空間，對於$E$的每一個事件$A$賦予一個實數，記爲$P(A)$，稱爲事件$A$的概率，如果集合函數$P(\bullet)$滿足下列條件：
  • 非負性：對於每一個事件$A$，有$P(A)>0$
  • 規範性：對於必然事件$S$，有$P(S)=1$
  • 可列可加性：若$A_1,A_2....$是兩兩互不相容的事件，即對於$A_iA_j=\varnothing,i\ne j,i,j=1,2,...$有$P(A_1\cup A_2\cup...)=p(A_1)+P(A_2)+...$
• 性質：
  • $P(\varnothing) =0$
  • 有限可加性：若$A_1,....,A_n$是兩兩互不相容的事件，則有
    $P(A_1\cup...\cup A_n)=p(A_1)+...+p(A_n)$
  • $A,B$是兩個事件，若$A\subset B$，則
    • $p(B-A)=P(B)-P(A)$
    • $p(B)\ge P(A)$
  • 對於任一事件$A$ $P(A)\leq1$
  • 逆事件的概率：對於任一事件，有$P(\overline{A})=1-P(A)$
  • 加法公式：對於任意兩個事件$A,B$有$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

4 等可能概率（古典概型）

• 特點：
  • 試驗的樣本空間只包含有限個元素；
  • 試驗中每個基本事件發生的可能性相同。

• 年會抽獎時，放回抽獎和不放回抽獎，對於某個人來說，中獎概率是一樣的。
• 小概率事件在一次試驗中，實際上幾乎不發生。即，小概率事件，在一次試驗中，可看成不可能事件。

概率統計學習筆記（2）

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