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我們知道四則混合運算加減乘除是算數的基礎，這裏面乘和除又可以通過加減來實現，所以加減是更爲基本的運算。這些我們小學就知道了，人類是這麼走過來的，計算機也是這麼走過來的。
我們先來實現兩個數的乘法，a*b，按照定義就是把a自加b次，如3*4，就是把3自己加自己總共加四次。
程序如下：
def multiply(a,b):
if a==0 or b==0:
return 0
elif a==1:
return b
elif b==1:
return a
else:
r = 0
while b>=1:
r = r + a
b = b - 1
return r
print(multiply(123,12))
程序的核心就是那個while循環，將a自加b次。
你肯定看出來了，上面的程序只能計算正整數，負數算不對。所以我們再考慮一下正負數。有四種情況：+ +，+ -，- +，- -。對這四種情況，我們得出它的結果的符號，然後化爲正數進行計算。程序如下：
def multiply(a,b):
sign = 1 #default to positive
if a>0 and b>0:
sign = 1
elif a>0 and b<0:
sign = -1
b = 0 - b # set b to positive
elif a<0 and b>0:
sign = -1
a = 0 - a # set a to positive
elif a<0 and b<0:
sign = 1
a = 0 - a # set a to positive
b = 0 - b # set b to positive
if a==0 or b==0:
return 0
elif a==1:
return b
elif b==1:
return a
else:
r = 0
while b>=1:
r = r + a
b = b - 1
if sign == 1: # positive
return r
else: #negative
return 0 - r
好。我們通過加法實現了乘法，循環這麼多次，很笨很笨，但是確實是能幹活兒。同樣我們也可以用減法實現除法。
我們再琢磨一下，如果b是實數就算不對了,因爲有小數部分，而上面的循環只對整數有效。實際上實數是由兩個整數中間加點組成的，所以還是可以處理。有點複雜，暫不介紹。
好奇的你又會開始問了，計算機內部真的是這麼幹的嗎？答案是部分是，實際上，計算機內部是通過加法和移位操作聯合起來實現乘法的，爲了處理負數和實數，還需要用到補碼和規範化存儲規範。後面我們會講到。
接下來看一下移位操作怎麼極大地加快了計算。小學學習的就是這個過程。
舉個例子125*103，我們上面的程序需要循環103次，看我們怎麼移位加速：
按照十進制的定義，103 = 1*102+0*101+3*100。這樣只要把125移位幾次再相加即可。分成三部分：
1*102 將125移位2次，再乘1，得到12500
0*101 0值，不計算
3*100 將125移位0次，再乘3，得到375
然後把三部分相加12500+0+375=12875。
同樣得到結果，只用了三次移位外加三次循環。
其實，Python裏面是有移位操作的<<。但是操作的結果有點跟想的不一樣，你可以試一下45<<，結果會返回90，而不是450，你會有一點吃驚。原因是因爲計算機內部用二進制表示，左移一次等效於乘2。我們可以自己模擬寫一個shift函數：
def lshift(a,n):
r = a
while n>=1 :
r = r * 10
n -= 1
return r
這個函數將一個數乘10，100，1000，相當於移位n次。本程序實現用到了乘法，這個只是示意，實際計算機裏面移位是一個獨立的基本運算。
這裏我們還用到了一個新的表達 n -= 1，這是一個縮寫，作用等同於 n = n-1，但是執行效率可能會更高（依賴於具體的實現），起碼看起來更加專業。
再用這個lshift()改寫乘法程序：
def multiply(a,b):
sign = 1
if a>0 and b>0:
sign = 1
elif a>0 and b<0:
sign = -1
b = 0 - b
elif a<0 and b>0:
sign = -1
a = 0 - a
elif a<0 and b<0:
sign = 1
a = 0 - a
b = 0 - b
if a==0 or b==0:
return 0
elif a==1:
return b
elif b==1:
return a
else:
r = 0 #result
s = str(b) #convert to string
for i in range(0,len(s)): # for each digit in the integer string
n = int(s[len(s)-i-1]) # get the digit from right to left
c=lshift(a,i) #shift
while n>=1:
r = r + c
n = n - 1
if sign == 1:
return r
else:
return 0 - r
程序的關鍵部分是那個嵌套循環：
for i in range(0,len(s)): # for each digit in the integer string
n = int(s[len(s)-i-1]) # get the digit from right to left
c=lshift(a,i) #shift
while n>=1:
r = r + c
n = n - 1
這裏我們看到了一個for語句，這是一個固定次數的循環，次數就是數字串的位數，如對103，循環次數就是3。i的取值依次爲0，1，2。之後，根據位置從右往左拿到該位置上的數字，即程序語句：n = int(s[len(s)-i-1])，如對103，第一次i爲0，那麼就是拿的3-0-1=2這個位置的數字，這個位置是103的最右邊一位（記得編號是從0開始的，所以最後一位也就是第三位的位置編號爲2）。拿到該數字後，先把被乘數移位，移i次，比如對103中的3，就移位0次，相當於不動，對1就要移位兩次。然後拿着這個移位後的數乘以n（通過加循環n次實現），即對103中的3，我們把125循環三次相加得到375，對於103中的0，我們不計算，對於103中的1，我們把12500循環1次相加得到12500，所以最後的結果爲12875。拿出紙和筆，自己手工跟蹤一遍。
順便提一下，while循環裏的r=r+c, n=n-1寫成r += c, n -= 1更加顯得像是高手。
測試一下print(multiply(125,103))。
再解釋一下二進制下的乘法實現，爲以後講計算機內部實現做點準備。
我們已經知道，計算機內部用二進制表示數，101010...，其數值等於k*2n+K*2n-1+...+k*20。
所以a*b就相當於a*k*2n+a*K*2n-1+...+a*k*20，即把a移位後累加。二進制的好處是它只有0和1兩個數字，所以不用考慮別的，直接移位或者不移位就可以了（十進制裏面還要考慮個位數的乘法）。
試一下6*5，6的二進制表示爲110，5的二進制表示爲101，我們計算110*101的值：
- 101的右邊第一位爲1，將110左移0位得到110
- 101的右邊第二位爲0，因此不計算(結果當成0)
- 101的右邊第三位爲1，將110左移2位得到11000
- 把1，2，3三步的結果相加：11000+0+110=11110,該結果就是30。
除法類似的，是通過減法和移位操作實現的，我們看一個例子。
我們看815/23，手工按照這幾步從高位到低位做：
- 先用8除23，商爲0，餘數爲8；
- 餘數8左移，得到80，再加上第二位1，得到81，除23，商爲3，餘數爲12；
- 餘數12左移，得到120，再加上第三位5，得到125，除23，商爲5，餘數爲10。
計算完畢，得到商爲035，即35，餘數爲10。
程序如下：
def lshift(a,n):
r = a
while n>=1 :
r = r * 10
n -= 1
return r
def divide(a,b):
sign = 1
if a>0 and b>0:
sign = 1
elif a>0 and b<0:
sign = -1
b = 0 - b
elif a<0 and b>0:
sign = -1
a = 0 - a
elif a<0 and b<0:
sign = 1
a = 0 - a
b = 0 - b
if a==0:
return 0
elif b==1:
return a
else:
result = 0
remaining = 0
s = str(a)
for i in range(0,len(s)): # for each digit in a
n = int(s[i]) # get the digit from left to right
divident = lshift(remaining,1)+n
if divident>=b:
#divide
count=0
while divident>=b:
count = count + 1
divident = divident - b
result = lshift(result,1) + count
remaining = divident
else:
result = lshift(result,1) + 0
remaining = divident
if sign == 1:
return result
else:
return 0 - result
測試print(divide(815,23))。你們仿照乘法的過程自己把除法跟蹤一遍。
二進制除法也是同樣的原理，也因爲只有0，1兩個數，所以比十進制簡單，不用除個位數，只需要比大小，大就是1，小就是0。
我們試一下85/6，用二進制表示爲1010101/110，按照如下步驟操作：
- 先拿最高位，1，跟110比大小，小，商爲0，餘數爲1；
- 餘數左移，爲10，再加上第二位數字0，得數還是10，跟110比大小，小，商爲0，餘數爲10；
- 餘數左移，爲100，再加上第三位數字1，得數是101，跟110比大小，小，商爲0，餘數爲101；
- 餘數左移，爲1010，再加上第四位數字0，得數是1010，跟110比大小，大，商爲1，餘數爲100；
- 餘數左移，爲1000，再加上第五位數字1，得數是1001，跟110比大小，大，商爲1，餘數爲11；
- 餘數左移，爲110，再加上第六位數字0，得數是110，跟110比大小，大，商爲1，餘數爲0；
- 餘數左移，爲00，再加上第七位數字1，得數是1，跟110比大小，小，商爲0，餘數爲1；
計算完畢，最後的商爲0001110(即14)，餘數爲1。
現在我們就知道把四則運算化成了加減運算，以後我們還會進一步將減法化爲加法。這樣從原理上，只需要有加法操作就可以了。萬法歸一。
擴展一下，如果你在中學學得多一點，有可能學到了複數，我們的程序又不能支持了。這裏我們需要一個新的表達，用一個數是不行，複數包含實部和虛部，所以Python用12 + 3j表示。注意這裏用的是j，不是數學中的i，這麼做是爲了遵從電子工程界的慣例。
有了這個知識，我們也是可以寫出程序來實現複數域的運算的。我不演示程序了，你們自己做。
計算機好神奇啊，你肯定會這麼想。它通過簡單數字（0/1）和基本運算疊加累計，最後構成了複雜的運算。但是這麼想並不全對，更準確的說法是計算機很笨而人很聰明，計算機只能做最簡單的操作，而人通過算法一步步讓計算機完成了複雜運算。一直到現在發展出Internet，智能手機，發射火箭，穿越星際空間，傳播視頻，遠程醫療，破譯DNA，發展無人駕駛汽車，但是我們須知循着路徑回溯，一層層破解技術，最後的內核就是一量個簡單極了的操作孤單地擺在我們眼前。正如大千世界，分析到了最後，就只有幾個基本粒子漂浮在虛無縹緲的時空。古來聖賢皆寂寞。
地球上現存的人類只有一種，統一叫做智人(Homo Sapiens)。