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現在世人皆知的Fibonacci斐波拉契數列最早來源於兔子繁殖問題，大約在800年前由Fibonacci引入（他的另一大貢獻是引入了阿拉伯數字）。說的是假定兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
對一對新生的兔子，我們看一下怎麼繁殖的：
第一個月兔子沒有繁殖能力，所以還是一對；
第二個月兔子還是沒有繁殖能力，所以還是一對；
第三個月兔子生下一對小兔，有了兩對；
第四個月兔子又生下一對小兔，有了三對；
第五個月兔子又生下一對小兔，第三個月生下來的小兔長大了也生了新一代小兔，所以有了5對；
...
寫成數列爲 1，1，2，3，5，...
從這個數列，我們可以得出結論，從第三項開始，每一項都是前兩項之和。Fn=Fn-1+Fn-2。我們可以用遞推的方法寫一個程序計算一下：
n=10
a = 1
b = 1
for i in range(3,n+1):
c = a + b
a=b
b=c
程序很簡單，如果計算某位的這個數字，就是從頭開始循環，一直累加下去。我們也能看出來，這個程序，循環次數是O(n)。
有沒有辦法能不經過循環，一下子求出值來？有的，可以使用如下通項公式：
。用無理數表示自然數，這是一個範例。
Fibonacci數列有一個很美的性質，就是它的通項比越來越接近於黃金分割比0.618。這個是觀測的結果，也是通過極限證明的結果。
Xn=Fn+1/Fn=(Fn+Fn-1)/Fn=1+ Fn-1/Fn=1+1/Xn-1
求極限，得到x=1+1/x。解出值爲
，這就是黃金分割值。因此美學上也會經常提及Fibonacci數列。
真理好神奇啊。在我們的現實世界裏，會經常碰到斐波那契數。
比如花瓣的數量，蘭花、茉利花、百合花有3個花瓣，毛茛屬的植物有5個花瓣，翠雀屬植物有8個花瓣，萬壽菊屬植物有13個花瓣，向日葵的花瓣有的是21枚有的是34枚，雛菊的花瓣有的是34、55或89枚。
比如樹木的生長，新的一枝從葉腋長出，而另外的新枝又從舊枝長出來，枝條的數目就是Fibonacci數。這是生物學上的魯德維格定律。
自然總是在不經意之間向我們吐露它內在的真理之美。
斐波那契數列前幾項的平方和可以看做不同大小的正方形，由於斐波那契的遞推公式，它們可以拼成一個大的矩形。於是有了下面迷人的鸚鵡螺螺旋圖案：
斐波拉契數列，還有好多場景也會碰到。
小時候，大人經常會問到一個走樓梯的問題，說是一次只能走一級樓梯或者兩級樓梯，走上20級的樓梯，一共有多少種走法。
這個問題跟兔子生兔子初看起來沒什麼相同，但是我們仔細分析一下。因爲一次只能走一級樓梯或者兩級樓梯，所以你站在20級樓梯的時候，必定是從第18級或者第19級走過來的，而你站在19級樓梯的時候，必定是從第18級或者第17級走過來的，這樣一步一步推，得到的就是這個公式：Fn=Fn-1+Fn-2。跟兔子問題是一樣的。
那麼有沒有可能按照這個結構寫程序呢？有的，我們看一下：
def fib(n):
if n == 1:
return 1
if n == 2:
return 1
return fib(n-1)+fib(n-2)
我們看這個函數的定義，fib(n)的返回值是fib(n-1)+fib(n-2)。這個概念上很清晰，但是如果只有這一句就陷入死循環中無法出來了，所以當n爲1和2的時候，我們要給他規定一個值。測試一下，肯定是對的。
現在程序結構就和數學表達式很接近了，直覺上更容易理解。這就是遞歸的實現。
用遞歸的思想，我們還可以重寫以前的階乘。
def factorial(n):
if n == 1:
return 1
else:
return n*factorial(n-1)
這個程序更加簡單一點，我們一步步看這個程序如何執行factoria(4)。
第一回合，執行factorial(4)，計算機會開闢一片棧空間，保存這次調用的上下文，記住了n=4。執行else指令，去計算 n*factorial(n-1)，也就是4* factorial(3)。執行中斷，調用factorial(3)，進入第二回合。
第二回合，執行factorial(3)，計算機會開闢一片新的棧空間，保存這次調用的上下文，記住了n=3。執行else指令，去計算 n*factorial(n-1)，也就是3* factorial(2)。執行中斷，調用factorial(2)，進入第三回合。
第三回合，執行factorial(2)，計算機還是會開闢一片新的棧空間，保存這次調用的上下文，記住了n=2。執行else指令，去計算 n*factorial(n-1)，也就是2* factorial(1)。執行中斷，調用factorial(1)，進入第四回合。
第四回合，執行factorial(1)，計算機仍然還是會開闢一片新的棧空間，保存這次調用的上下文，記住了n=1。執行if指令，return 1。釋放本回合的棧空間，帶着返回值1回到第三回合。
繼續執行第三回合的中斷點：2* factorial(1)，即執行2*1，然後返回。釋放本回合的棧空間，帶着返回值2回到第二回合。
繼續執行第二回合的中斷點：3* factorial(2)，即執行3*2，然後返回。釋放本回合的棧空間，帶着返回值6回到第一回合。
繼續執行第一回合的中斷點：4* factorial(3)，即執行4*6，然後返回。釋放本回合的棧空間，帶着返回值24返回給客戶。
遞歸程序的好處是結構簡單，接近數學公式。
我們再來看一個用遞歸的例子，求最大共約數：
def gcd(a, b):
if a < b:
a, b = b, a
if b == 0:
return a
while b != 0:
a,b = b,a%b
return a
用的輾轉相除法。注意一個新的寫法a, b = b, a，這是把以前b的值賦給a，把以前a的值賦給b，相當於交換。同樣a,b = b,a%b，這是把以前b的值賦給a，把以前a%b的值賦給b。
用到遞歸後，程序變成：
def gcd(a, b):
if a < b:
a, b = b, a
if b == 0:
return a
a,b = b,a%b
return gcd(a,b)
遞歸的缺點就是性能低，佔用棧空間多，甚至會溢出出錯（自己測試一下，給一個大的數，如10000，會出錯RecursionError: maximum recursion depth exceeded in comparison）。對斐波拉契數列，遞歸實現的性能爲O(1.618*n)。