Leetcode——837. 新21點 概率Dp

愛麗絲參與一個大致基於紙牌遊戲 “21點” 規則的遊戲，描述如下：

愛麗絲以$0$ 分開始，並在她的得分少於 K 分時抽取數字。 抽取時，她從 $[1, W]$ 的範圍中隨機獲得一個整數作爲分數進行累計，其中 $W$ 是整數。 每次抽取都是獨立的，其結果具有相同的概率。

當愛麗絲獲得不少於 $K$ 分時，她就停止抽取數字。 愛麗絲的分數不超過 $N$的概率是多少？

示例 1：

輸入：N = 10, K = 1, W = 10
輸出：1.00000
說明：愛麗絲得到一張卡，然後停止。

示例 2：

輸入：N = 6, K = 1, W = 10
輸出：0.60000
說明：愛麗絲得到一張卡，然後停止。
在 W = 10 的 6 種可能下，她的得分不超過 N = 6 分。

示例 3：

輸入：N = 21, K = 17, W = 10
輸出：0.73278

提示：

$0 \le K \le N \le 10000$
$1 \le W \le 10000$
如果答案與正確答案的誤差不超過 $10^{-5}$，則該答案將被視爲正確答案通過。
此問題的判斷限制時間已經減少。

來源：力扣（LeetCode）
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題解

因爲最終的概率是和下一輪開始前的得分有關的，因此我們可以根據得分計算下面的概率。
設$dp[x]$表示得分爲$x$的情況下開始玩遊戲並且獲勝的概率。那麼就可以確定所需要的求的答案是$dp[0]$。
根據題意，當分數大於等於$K$的時候遊戲結束，如果遊戲結束的時候，如果分數不超過$N$就獲得勝利。如果分數超過$N$就失敗。那麼當
$dp[x] = \begin{cases}dp[x] = 1 \quad K \le x \le \min(N,K+W-1) \\ dp[x] = 0\quad x > min(N,K+W-1)\end{cases}$

這是因爲不超過K的時候能夠最大的數字是$K-1$，此時可以抽一次，最大值爲$W$，所以得到的最大分數爲$K+W-1$

那麼當$0\le x < K$的時候。每一個$x$得分可以轉移$W$個狀態，因爲在$x$的狀態下可以抽取的範圍爲$[1,W]$，每個數字的概率爲$\frac{1}{W}$。所以$dp[x]$可以表示爲：
$dp[x] = \frac{dp[x+1]+\cdots + dp[x+W]}{W}$

所以根據這個狀態轉移方程，可以計算出最後的答案，但是我們會發現，這個狀態轉移的時間複雜度有點高$O(KW)$。
但是一般動態規劃都是相鄰項之間的轉移，那麼我們看看相鄰項之間的關係。

$dp[x] = \frac{dp[x+1]+\cdots + dp[x+W]}{W}$
$dp[x+1] = \frac{dp[x+1+1]+ \cdots + dp[x+1+W]}{W}$
所以可以得到了
$dp[x]-dp[x+1] = \frac{dp[x+1]-dp[x+W+1}{W}$
$dp[x] = dp[x+1] -\frac{dp[x+1]-dp[x+W+1]}{W}$
其中$0\le x<K-1$
注意$x$的取值範圍哦，所以我們需要單獨處理$K-1$。
因此我們可以在$O(1)$的範圍內得到轉移方程。

func min(a,b int)int {
    if a > b{
        return b
    }
    return a
}
func new21Game(N int, K int, W int) float64 {
    if K== 0{
        return 1.0
    }
    dp := make([]float64, K+W+1)
    for i:=K;i<=N && i<K+W;i++{
        dp[i] = 1.0
    }
    dp[K-1] = 1.0 * float64(min(N-K+1, W))/float64(W)
    for i:=K-2;i>=0;i--{
        dp[i] = dp[i+1] -(dp[i+W+1] -dp[i+1])/float64(W)
    }
    return  dp[0]
}