【題目】*837. 新21點
愛麗絲參與一個大致基於紙牌遊戲 “21點” 規則的遊戲，描述如下：
愛麗絲以 0 分開始，並在她的得分少於 K 分時抽取數字。 抽取時，她從 [1, W] 的範圍中隨機獲得一個整數作爲分數進行累計，其中 W 是整數。 每次抽取都是獨立的，其結果具有相同的概率。
當愛麗絲獲得不少於 K 分時，她就停止抽取數字。 愛麗絲的分數不超過 N 的概率是多少？
示例 1：
輸入：N = 10, K = 1, W = 10
輸出：1.00000
說明：愛麗絲得到一張卡，然後停止。
示例 2：
輸入：N = 6, K = 1, W = 10
輸出：0.60000
說明：愛麗絲得到一張卡，然後停止。
在 W = 10 的 6 種可能下，她的得分不超過 N = 6 分。
示例 3：
輸入：N = 21, K = 17, W = 10
輸出：0.73278
提示：
0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案與正確答案的誤差不超過 10^-5，則該答案將被視爲正確答案通過。
此問題的判斷限制時間已經減少。
【解題思路1】動態規劃
以示例3爲例
最後手上牌的點數最小爲K = 17點，最大爲 K + W - 1 = 26點
定義函數f：小於K點即可以繼續抽牌時，抽完排點數不大於N的概率
當最後手中點數是17的時候，就不能繼續抽排了
f(16)：
抽牌範圍是[1, 10]，抽到每個牌的概率都是1/10
其中[1, 5]加上16是小於等於21的，[6, 10]加上16是大於21的
所以f(16) = 1/10 * (1+1+1+1+1+0+0+0+0+0)
f(15)：
此時抽到1點的概率是1/10，1+15=16，f(16)=1/2，1/10 * 1/2就是15點抽到1點之後再抽一張牌點數小於等於21的概率
此時抽到2點的概率是1/10，2+15=17，終止抽牌，<=21的概率是1
……
此時抽到6點的概率是1/10，6+15=21，終止抽牌，<=21的概率是1
此時抽到7點的概率是1/10，7+15=22，終止抽牌，<=21的概率是0
……
此時抽到10點的概率是1/10，10+15=22，終止抽牌，<=21的概率是0
以此類推，f(x)就是狀態轉移方程，f(0)就是剛開始抽牌時，持續抽牌，最後點數不大於N=21的概率
因爲最後點數在 [ K, K + W - 1 ] 點之間，所以數組大小隻需要一個大小爲 K+W = 27的數組
如上例子，主需要int[27]就可以了，最後點數在 [17, 21]之間肯定<=21，所以初始化這段數組爲1（概率爲1），即f(x)中x∈ [17, 21]時，f=1
然後從後往前計算各個f(x)值，即從16開始往前計算，每次都要計算後面的W = 10個概率和再除以W
改進：
如這邊f(15)和f(16)求和概率S用到後面10格子裏有9個格子都是重複的，所以採取去掉最後一個加上最前面一個格子的方法簡化程序，避免每次重複求和S
問題
若將N改爲28，那麼聲明的數組只到26，但是最開始還用得到27，28
但實際上能抽到的最大點數之和是26，不可能有27， 28，所以27 28的值是沒有用的
- 這需要在初始化的時候加上一些判斷避免報錯
- 或者擴大初試數組的大小爲[N+W]，因爲K<=N，所以K+W <= N+W
上面的後N=10個概率求和得到的，初始化S = N - K + 1在N=21時爲5(對應f(16)裏面的5個1)，但當N=28時，S = 12超過了W = 10這是不可能的，所以初始化S要在N - K + 1和W之間取最小值
class Solution {
public double new21Game(int N, int K, int W) {
if (K == 0) {
return 1.0;
}
double[] dp = new double[K + W];
for (int i = K; i <= N && i < K + W; i++) {
dp[i] = 1.0;
}
for (int i = K - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
dp[i] += dp[i + j] / W;
}
}
return dp[0];
}
}
class Solution {
public double new21Game(int N, int K, int W) {
if (K == 0) {
return 1.0;
}
double[] dp = new double[K + W];
for (int i = K; i <= N && i < K + W; i++) {
dp[i] = 1.0;
}
dp[K - 1] = 1.0 * Math.min(N - K + 1, W) / W;
for (int i = K - 2; i >= 0; i--) {
dp[i] = dp[i + 1] - (dp[i + W + 1] - dp[i + 1]) / W;
}
return dp[0];
}
}
