【题目】*837. 新21点
爱丽丝参与一个大致基于纸牌游戏 “21点” 规则的游戏，描述如下：
爱丽丝以 0 分开始，并在她的得分少于 K 分时抽取数字。 抽取时，她从 [1, W] 的范围中随机获得一个整数作为分数进行累计，其中 W 是整数。 每次抽取都是独立的，其结果具有相同的概率。
当爱丽丝获得不少于 K 分时，她就停止抽取数字。 爱丽丝的分数不超过 N 的概率是多少？
示例 1：
输入：N = 10, K = 1, W = 10
输出：1.00000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
示例 2：
输入：N = 6, K = 1, W = 10
输出：0.60000
说明：爱丽丝得到一张卡，然后停止。
在 W = 10 的 6 种可能下，她的得分不超过 N = 6 分。
示例 3：
输入：N = 21, K = 17, W = 10
输出：0.73278
提示：
0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案与正确答案的误差不超过 10^-5，则该答案将被视为正确答案通过。
此问题的判断限制时间已经减少。
【解题思路1】动态规划
以示例3为例
最后手上牌的点数最小为K = 17点，最大为 K + W - 1 = 26点
定义函数f：小于K点即可以继续抽牌时，抽完排点数不大于N的概率
当最后手中点数是17的时候，就不能继续抽排了
f(16)：
抽牌范围是[1, 10]，抽到每个牌的概率都是1/10
其中[1, 5]加上16是小于等于21的，[6, 10]加上16是大于21的
所以f(16) = 1/10 * (1+1+1+1+1+0+0+0+0+0)
f(15)：
此时抽到1点的概率是1/10，1+15=16，f(16)=1/2，1/10 * 1/2就是15点抽到1点之后再抽一张牌点数小于等于21的概率
此时抽到2点的概率是1/10，2+15=17，终止抽牌，<=21的概率是1
……
此时抽到6点的概率是1/10，6+15=21，终止抽牌，<=21的概率是1
此时抽到7点的概率是1/10，7+15=22，终止抽牌，<=21的概率是0
……
此时抽到10点的概率是1/10，10+15=22，终止抽牌，<=21的概率是0
以此类推，f(x)就是状态转移方程，f(0)就是刚开始抽牌时，持续抽牌，最后点数不大于N=21的概率
因为最后点数在 [ K, K + W - 1 ] 点之间，所以数组大小只需要一个大小为 K+W = 27的数组
如上例子，主需要int[27]就可以了，最后点数在 [17, 21]之间肯定<=21，所以初始化这段数组为1（概率为1），即f(x)中x∈ [17, 21]时，f=1
然后从后往前计算各个f(x)值，即从16开始往前计算，每次都要计算后面的W = 10个概率和再除以W
改进：
如这边f(15)和f(16)求和概率S用到后面10格子里有9个格子都是重复的，所以采取去掉最后一个加上最前面一个格子的方法简化程序，避免每次重复求和S
问题
若将N改为28，那么声明的数组只到26，但是最开始还用得到27，28
但实际上能抽到的最大点数之和是26，不可能有27， 28，所以27 28的值是没有用的
- 这需要在初始化的时候加上一些判断避免报错
- 或者扩大初试数组的大小为[N+W]，因为K<=N，所以K+W <= N+W
上面的后N=10个概率求和得到的，初始化S = N - K + 1在N=21时为5(对应f(16)里面的5个1)，但当N=28时，S = 12超过了W = 10这是不可能的，所以初始化S要在N - K + 1和W之间取最小值
class Solution {
public double new21Game(int N, int K, int W) {
if (K == 0) {
return 1.0;
}
double[] dp = new double[K + W];
for (int i = K; i <= N && i < K + W; i++) {
dp[i] = 1.0;
}
for (int i = K - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = 1; j <= W; j++) {
dp[i] += dp[i + j] / W;
}
}
return dp[0];
}
}
class Solution {
public double new21Game(int N, int K, int W) {
if (K == 0) {
return 1.0;
}
double[] dp = new double[K + W];
for (int i = K; i <= N && i < K + W; i++) {
dp[i] = 1.0;
}
dp[K - 1] = 1.0 * Math.min(N - K + 1, W) / W;
for (int i = K - 2; i >= 0; i--) {
dp[i] = dp[i + 1] - (dp[i + W + 1] - dp[i + 1]) / W;
}
return dp[0];
}
}
