算法筆記：tarjan算法求強連通分量&割點&橋

強連通分量：其實就是個環

割點：把這個點去掉可以使圖不連通

tarjan算法求強連通分量的思路：在dfs過程中有兩個數組 low 和dfn 分別代表dfs中被搜索到的次序，以u爲根的子樹中的最小dfn。對於每一個點，如果它的dfn[u]==low[u]說明通過一條路徑走回了自己，因爲往後搜索的過程中dfn是在遞增的，只有通過一個環走回去纔可能使這兩個值相等，所以就可以把這個環縮成點

if(low[u]==dfn[u]){
		t++;//連通分量的標號 
		do{
			color[z[k]]=t;    //屬於這個連通分量 
			cnt[t]++;         //記錄這個環中有多少個點
			vis[z[k]]=0; 
			k--;              //出棧 
		}while(u!=z[k+1]);
	}

用棧來記錄子樹
對於每一個新點進行初始化
加入棧中
並記錄這個點在棧中

dfn[u]=low[u]=++tot;
	z[++k]=u;//入棧 
	vis[u]=1;
	for(int i=0;i<e[u].size();i++){
		if(!dfn[e[u][i]]){
			tarjan(e[u][i]);
			low[u]=min(low[u],low[e[u][i]]);
		}
		else if(vis[e[u][i]]){
			low[u]=min(low[u],dfn[e[u][i]]);
		}
	}

luogu P2341 [USACO03FALL][HAOI2006]受歡迎的牛 G

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5,maxm=1e5+5;
int n,m;
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],du[maxn],t,k,tot;
//dfn 深度優先搜索遍歷時結點u被搜索的次序
//low 以u爲根的子樹的最小dfn 
//z 數組模擬棧
//color 記錄屬於哪個連通分量
//cnt 記錄每個連通分量裏的元素個數
//du 縮點後 每個點的出度 
vector<int>e[maxm];
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++tot;
	z[++k]=u;//入棧 
	vis[u]=1;
	for(int i=0;i<e[u].size();i++){
		if(!dfn[e[u][i]]){
			tarjan(e[u][i]);
			low[u]=min(low[u],low[e[u][i]]);
		}
		else if(vis[e[u][i]]){
			low[u]=min(low[u],dfn[e[u][i]]);
		}
	}
	if(low[u]==dfn[u]){
		t++;//連通分量的標號 
		do{
			color[z[k]]=t;    //屬於這個連通分量 
			cnt[t]++;         //記錄這個環中有多少個點
			vis[z[k]]=0; 
			k--;              //出棧 
		}while(u!=z[k+1]);
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		e[u].push_back(v);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i])tarjan(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=0;j<e[i].size();j++){
			if(color[i]!=color[e[i][j]])du[color[i]]++;
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=t;i++){
		if(du[i]==0){
			if(ans){
				cout<<"0";
				return 0;
			}
			ans=i;
		}
	}
	cout<<cnt[ans];
	return 0;
}

割點的思想跟強連通分量非常相似，判斷任意一個點的兒子是否能走到自己的父親，如果不能，這個點就是割點 即 low[v]>=dfn[u]，還有一種可能，根節點有兩個以上的兒子，直接就是割點

luogu P3388 【模板】割點（割頂）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,maxm=2e5+5;
int n,m;
bool cut[maxn];
int dfn[maxn],low[maxn],vis[maxn],z[maxn],color[maxn],cnt[maxn],du[maxn],t,k,tot;
vector<int>e[maxm];
void tarjan(int u,int root){//root代表此樹的根 
	int child=0;
	dfn[u]=low[u]=++tot;
	for(int i=0;i<e[u].size();i++){
		int v=e[u][i];
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v,root);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>=dfn[u]&&u!=root)cut[u]=true;
			if(u==root)child++;
		}
		low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	if(u==root&&child>=2){
		cut[root]=true;
	}
}
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		e[u].push_back(v);
		e[v].push_back(u);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i])tarjan(i,i);
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(cut[i])ans++;
	}
	cout<<ans<<endl;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(cut[i])cout<<i<<" ";
	}
	return 0;
}

tarjan求橋 來了
模板題 UVA 796 Critical Links
uva的讀入噁心人一直可以的

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <string>
#include <stdlib.h>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
const int maxn=2e5+5,maxm=5e5+5;
int n,m;
int dfn[maxn],low[maxn],t,k,tot;
vector<int>e[maxm];
struct edge{
	int u,v;
}qiao[maxm];
bool cmp(edge a,edge b){
	if(a.u==b.u)return a.v<b.v;
	return a.u<b.u;
}
void tarjan(int u,int root){//root代表此樹的根 
	dfn[u]=low[u]=++tot;
	for(int i=0;i<e[u].size();i++){
		int v=e[u][i];
		if(!dfn[v]){
			tarjan(v,u);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
			if(low[v]>dfn[u]){
				t++;
				qiao[t].u=min(u,v);
				qiao[t].v=max(u,v);
			}
		}
		else if(v!=root)low[u]=min(low[u],dfn[v]);
	}
	return;
}
void init(int n){
	t=0;
	tot=0;
	k=0;
	memset(dfn,0,sizeof(dfn));
	memset(low,0,sizeof(low));
	for(int i=0;i<=n;i++){
		e[i].clear();
	}
}
int main(){
	while(cin>>n){
	init(n);
	int u,v,num;
	char c1,c2;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>u>>c1>>num>>c2;
		u++;
		while(num--){
			cin>>v;
			v++;
			e[u].push_back(v);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!dfn[i])tarjan(i,0);
	}
	sort(qiao+1,qiao+1+t,cmp);
	printf("%d critical links\n",t);
	for(int i=1;i<=t;i++){
    	printf("%d - %d\n",qiao[i].u-1,qiao[i].v-1);
	}
	cout<<endl;
}
	return 0;
}