PRML第 47 页损失函数中交叉项为什么会消失--计算过程

在PRML的第一章1.5.5节，计算关于损失函数过程中，根据原文得到如下内容：

其中有一下推导过程：

文中只用一句话描述了为什么交叉项会消失，”Substituting into the loss function and performing the integral over t, we see that the cross-term vanishes and we obtain an expression for the loss function in the form”.
那么具体是怎么的过程呢？我们单独把交叉项拿出来：

2{y(x)−E[t|x]}{E[t|x]−t}$$2\{y(x)-E[t|x]\}\{E[t|x]-t\}$$

带入loss function 中，并对t进行积分，这里我们先对t积分，不考虑对x的积分。得到如下公式：

∫2{y(x)−E[t|x]}{E[t|x]−t}×p(x,t)dt$${\int }_{}^{}2\{y(x)-E[t|x]\}\{E[t|x]-t\}\times p(x,t)dt$$

可以知道，积分的左边因子是关于x的函数，对t的积分来说只是一个常数，可以放在积分的外面，只考虑积分内的内容：

∫2{E[t|x]−t}×p(x,t)dt$${\int }_{}^{}2\{E[t|x]-t\}\times p(x,t)dt$$

由于p(x,t)=p(t|x)p(x)$p(x,t)=p(t|x)p(x)$ 可以得到如下公式

∫2{E[t|x]−t}×p(t|x)p(x)dt$${\int }_{}^{}2\{E[t|x]-t\}\times p(t|x)p(x)dt$$

同样的将p(x)提到积分号外面，并不考虑，可以得到

∫E[t|x]×p(t|x)dt−∫t×p(t|x)dt$${\int }_{}^{}E[t|x]\times p(t|x)dt-{\int }_{}^{}t\times p(t|x)dt$$

一样的trick ,E[t|x]$E[t|x]$ 是关于x的函数，放在积分号的外面，∫p(t|x)dt=1${\int }_{}^{}p(t|x)dt=1$ ，所以第一项为 E[t|x]$E[t|x]$ 。另外根据定义，文中的公式1.89同样给出。可以第二项为得到:

∫t×p(t|x)dt=E[t|x]$${\int }_{}^{}t\times p(t|x)dt=E[t|x]$$

结合交叉所有的内容：

{E[t|x]−E[t|x]}×p(x)×2{y(x)−E[t|x]}$$\{E[t|x]-E[t|x]\}\times p(x)\times 2\{y(x)-E[t|x]\}$$

所以交叉项为0，不会在x的积分内容中出现。
个人推理，如有问题，欢迎指出！
以上！