1.3 函数的极限
1.3.1 函数极限的定义
1函数极限的一般概念:
在自变量的某个变化过程中(某个区间内),函数值无限接近于某个确定的值,那么这个值就是函数在这个变化过程中的函数极限(某个区间的函数极限)
注意:
i. 变化过程就是指某个区间,区间的确定直接影响到函数极限的取值,所以在求定义函数极限或者求函数极限时,区间是首先要确定的
ii. 函数的变化是局限于某个区间的,随着区间的变化而变化
iii. 这就是与数列极限的不同,数列中没有自变量,数列是一维的概念,在数列中,决定取值的是数列的下标(因为每个数列的项的下标都是唯一的,下标就是项的标识),所以在定义数列极限或者确定数列的极限时,首先要明确下标的取值,这是门槛
2 自变量趋于有限值时函数的极限 P32
定义1 设函数f(x)在点的去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数e(无论多小),总存在正数,使得当x满足不等式 ,对应的函数值满足不等式:
那么常数A就叫做函数f(x)当时的函数极限,记作
F(X)有没有极限,与F(X)在是否定义无关
1) 几何含义 P32
2) 左极限 = 右极限是 极限存在的充分必要条件
3) 定义解读:
a) 去心邻域内有定义,去心邻域就是指自变量的取值区间,在定义一开始就说明,因为这是前提
b) 总存在正数,使得当x满足不等式 ,这是将去心邻域内有定义 这句话用确切的代数式表达出
c) 对任意给定的正数e(无论它是多小) 解读和 定义2中的类似
3 自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义,如果存在常数A,对任意给定的正数e(无论它是多小),总存在着正数X,使得当X满足不等式|x| > X时,对应的函数值f(x)都满足不等式
那么常数A就叫做函数f(x)当时的函数极限,记作
1) 定义解读:
a) 大于某一正数时有定义 总存在着正数X,使得当X满足不等式|x| >X时
这两句话一前一后,前面是说,要满足这么个要求,后一句给出满足这个要求的假设信息
b) 对任意给定的正数e(无论它是多小)
一定要注意,是任意给定。X的取值也和e有关系,不等式可以推算出一个关于x,e的不等式,为了满足它,结合|x| > X,在取N值的时候,可以参考e变换得来的代数式 –> 可使x,e的不等式成立
4定义1 和 定义2之间的区别
1) 定义1中函数是在一个区间中有定义,定义2中的函数是大于某个正数时有定义
2) 定义1 趋于某个值的极限,定义2 趋于无穷大的极限