#4860. 神

題目描述

衆所周知， HN-001 是神一般的存在。

HN-001 給了你一個 $n$ 階排列 $\{a_i\}$ ，並向你提出了 $q$ 次詢問。每次詢問 HN-001 會給出四個參數 $l_1,r_1,l_2,r_2(1 \le l1 \le r1 < l2 \le r2 \le n)$ ，且 $r_1 − l_1 = r_2 − l_2$ 。記 $m = r_1 − l_1 + 1$ ，你需要構造一個 $m$ 階排列 $\{b_j\}$ 並滿足：$\forall j \in [1,m], a_{j+l_1-1}< a_{b_j+l_2-1}$ 。

HN-001 並不滿足於讓你構造出一個 $\{b_j\}$ ， Ta 想讓你算一下滿足條件的的 $\{b_j\}$ 的數量。由於 HN-001 崇尚秩序， Ta 對“逆序對”這類事物不感興趣，因此排列 $\{a_j\}$ 中的逆序對數不會太多，具體來說，就是滿足 $1 \le x < y \le n$ 且 $a_x > a_y$ 的二元組 $(x,y)$ 的數量不會超過 $10^5$ 。

由於答案可能很大， HN-001 不想太爲難你，於是 Ta 只要你輸出答案對 $10^9 + 7$ 取模的結果。

數據範圍

對於 100% 的數據， $1 \le T \le 10 , 1 \le \sum_{n}, \sum_{q} \le 10^5$ ，排列 $\{a_i\}$ 的逆序對數不超過 $10^5$ 。

題解

考慮暴力，把兩段區間分別排序，設 $cnt_i$ 表示後一段第 $i$ 個數比前一段大的數的個數，那答案就是 $\prod_{i=1}^n(cnt_i-i+1)$ 。這樣是 $O(nq)$ 的。

設 $k$ 爲逆序對數，那麼 $\sum(m-cnt_i) \le k$ ，也就意味着 $cnt_i$ 不同的個數是 $O(\sqrt k)$ ，那我們就可以把 $cnt_i$ 相同的數放在一起算，這個過程可以用主席樹維護，因此效率爲 $O(q\sqrt klogn)$ 。