微信掃一掃 解答問題
北京郵電大學2016—2017學年第一學期
《計算機算法與數學模型<上>》期末考試試題
說明：1）本次考試採用開卷方式，答卷時間爲一週（2016年12月29日-2017年元月05日），請按時（2017年01月05日數學模型課課間）交卷，逾時不候；2）本課程的考試是一學期課程學習結束的一次綜合複習，因此在答題時務必獨立完成，除了查閱有關資料外，請避免同學間相互抄襲，如發現雷同答卷，一併作廢！3）答題紙務必採用學校提供的標準答題紙，否則將被視爲無效。請在答卷卷首寫清姓名、班級、學號（學校統一10位編號）等。4）凡涉及計算編程的題目，將程序打包、壓縮、以 “數學模型”+“本人學號”+“姓名”命名後發到ftp://10.105.66.241(用戶名：homework,密碼：homework)5) 若由於印刷原因造成試題不清晰，請從http://10.105.66.241/sxjm 下載試題的電子文檔。
一、 綜合建模——公交一卡通的充值:
我們生活中有很多類似公交一卡通充值、手機卡充值等預付費服務消費方式，這裏就以公交一卡通充值爲例進行建模分析，爲消費者建立一個一次充值的最佳金額確定策略。
一次充值金額不宜太多：比方銀行利息損失、卡的丟失等因素的影響；一次充值金額不宜太少：比方可能造成頻繁的充值排隊時間花銷，如果充值服務網點有限，消費者有時只是爲了消費卡充值而支付往返居住地到服務網點之間交通費用的開銷。
當然，你可能還注意到更多需要考慮的影響因素，在建模時，儘量做到周全和實用。
二、模型解釋
1．在允許缺貨的存貯策略分析中，按“成本最小化”建模，從得到的結果中發現在一個存貯週期中確有一段時期爲“零貯存”，且又不積極再進貨。試分析該模型的缺陷以及改進的方向。
2．以已知某雙種羣生態系統的數學模型 ，其中以表示兩個不同種羣在時刻的數量，爲模型參數。請問該模型表示哪類生態（共存、競爭、捕食）系統模型，並說明平衡點的穩定性條件。
3．關於“席位的公平分配問題”，一些教程在值法的導出時，均以如下算例爲論據，說明絕對不公平性指標在評價一個分配方案其公平性程度是不適當的，進而給出相對不公平性指標，最終導出值法。我認爲這個例子是不適當的，你能給出一些有說服力的論述嗎？
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例、設甲、乙二團體的人數分別爲、兩種情形，在這兩種情形下他們分得的席位均爲。容易發現，當甲、乙二團體的人數分別爲時，席位分配方案的不公平程度更大，而絕對不公平得到的數字、卻是相等的。 |
4. 以下是我在某教程上截取下有關節水洗衣問題的建模分析的判斷，假定其它模型參數一定時，考慮呆洗衣服（質）量不同取值在，最優洗衣策略對應的洗滌輪數和用水量。請用歸納的觀點，解釋你從實驗數據中得出的一些結論：
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衣物質量 （千克） |
輪數（次） |
每輪用水量（升） |
總用水量（升） |
單位質量衣物平均總用水量（升） |
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1 |
3 |
20 |
60 |
60 |
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2 |
3 |
21 |
63 |
31.5 |
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3 |
3 |
26 |
78 |
26 |
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4 |
4 |
20 |
80 |
20 |
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5 |
4 |
21 |
84 |
16.8 |
5．考慮實物交換問題，我們假定討論甲、乙雙方，限於A、B兩種物品；以、分別表示甲方、乙方擁有A、B兩種物品的量，以、分別表示甲方、乙方相應的滿意程度，稱之爲滿意度函數。 進而建立如下模型：
嘗試解釋包括模型參數在內，目標約束、各組約束條件的具體意義；論述該模型的合理性以及可能的不同目標函數選擇。
三、計算與論證
1．人合作對策問題
記，爲的冪集合，爲到實數集的一個函數，是人合作對策問題的某個特徵函數，若以表示人合作對策問題關於特徵函數的算法，以下是著名的值方法：
這裏，表示集合中元素數目：
1）試用排列組合的觀點解釋的意義；
2）顯然對，均有。請您論證；
3）試着解釋值方法的合理性及其侷限性（不足）。
2．核武器競賽（http://10.105.66.241/sxjm/lec/Course06/course06_1.htm）
如參考課件，在適當的模型假設下，若要採用期望值準則分析建模，即每一方均希望在遭到對方傾斜性核打擊後，保留下核彈數目的數學期望值不少於某個設定值，則得定解條件(參數、變量的符號均保持課件原樣)：
、
得到甲、乙雙方的安全曲線分別爲：、。
聯繫實際，我們覺得對模型假設所表述的國家安全概念的適宜解讀，應當是，“每一方均希望在遭到對方傾斜性核打擊後，保留下核彈數目不少於某個設定值的概率不少於某個概率設定值，比方0.9”。進而，相應的定解條件變爲：
、
這裏，將、解讀爲自然數。
請嘗試推論甲乙雙方的無差別曲線以及雙方安全區域的存在性（當然，你也可以採用類似計算機模擬等數值的、近似的一些手法對模型展開討論）。
3． 在 97年前後，我國的一些大中城市出現了產品的分銷熱。安利公司是美國一家主要生產清潔產品的大公司，在許多國家開設分公司，據說“分銷”是安利產品的主要銷售方式，產品的“分銷員”從公司代理處提取產品並直接送到顧客手中，公司從產品的銷售收入中讓利作爲“分銷員”的報酬。顯然一個大而好的“分銷網絡”對公司是重要的，公司鼓勵“分銷員”一方面挖掘產品的潛在消費羣，一方面不斷地壯大“分銷網絡”本身—即不斷地吸引新的成員加入並給予指導，而公司同樣依據由“你”發展起來“分銷網絡”的銷售業績給予適當的報酬。
假設你與你相關的一個人羣合作從事某項經營活動，整體效益表現爲中每一成員的成績之和，而的所有工作是幫助中每個成員取得儘可能大的成績， 即的成績需要根據做出綜合評定，不妨將之設計爲的一個函數：
定性分析應滿足：1）非負性：；2）單調性：；
3） 對稱性：對任意、，若經有限次對換可將化爲，即存在 上的一全排列滿足：， 則有；4）無考性：若中有個分量爲，則.
爲簡化起見，只須設計兩個一元函數、即可，要求a）非負性：；b）單調性：、；c）無考性：.
令，試着證明：由滿足條件a，b，c的、定義的滿足條件1）~4）；
若將、表示收入，試解釋的經濟意義，並闡明構造的合理性.