厚積薄發—和定值，求乘積最小的組合

Q:輸入一個遞增排序的數組和一個數字S，在數組中查找兩個數，是的他們的和正好是S，如果有多對數字的和等於S，輸出兩個數的乘積最小的。

思路：

1，因爲數組滿足遞增，從首尾開始遍歷 i，j，如果ai+aj=S,就是答案 （相差越大，乘積越小，所以第一個遇到就是乘積最小的）

2，如果 ai+aj>S, aj肯定不是答案之一，j--   （aj後面的不可能，和只會更大）

3，如果 ai+aj<S, ai肯定不是答案之一，i++ （ai前面的不可能，和只會更小）

複雜度O（n）

 

題目關鍵在於證明：和爲定值的兩個數，相差越遠乘積越小。

 

首先是圖形解釋（只適用於 S>0）

 

下面做數學上的證明：

所取的兩個數分別爲 x 和 S-x

那麼乘積可表示爲：

兩個數的差 , 用y表示x得到 

進一步乘積可以表示爲：

顯然，乘積 f 是隨  y單調遞減的，即可證明再實數範圍內，和爲定值的兩個數 差越大，他們的乘積則越小。

 

簡單的一個demo如下：

#include "stdafx.h"
#include<vector>
#include<iostream>
using namespace std;

vector<int> findMinmul4Sum(vector<int> &arr, int sum)
{
	vector<int> result;
	int n = arr.size();
	int i = 0, j = n - 1;
	while (i < j)
	{
		if (arr[i] + arr[j] == sum) { result.push_back(arr[i]);result.push_back(arr[j]);break; }
		if (arr[i] + arr[j] < sum) i++;
		if (arr[i] + arr[j] > sum) j--;
	}
	return result;
}

int main()
{
	vector<int> a = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
	vector<int> b= findMinmul4Sum(a, 8);
	cout << b[0] <<"\t"<<b[1] << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

循環部分可以進一步優化爲

while(i<j)
{
    if(arr[i]+arr[j]==sum) ...
    while(arr[i]+arr[j]<sum && i<j) i++; //i<j必須
    while(arr[i]+arr[j]>sum && i<j) j--;
}

速度可以進一步加快