什麼是最小生成樹以及如何構建

文章目錄

一，概念回顧 - 生成樹

二，最小生成樹（Minimum Spanning Trees）

預習：圖的基本概念及圖演算法

一，概念回顧 - 生成樹

1.1 什麼是生成樹

生成樹：所有頂均由邊鏈接在一起，但不存在迴路的圖。

多一條邊會出現迴路
少一條邊會出現鏈接不到的頂點
一個圖可以有許多棵不同的生成樹

所有生成樹具有以下共同特點

生成樹的頂點個數與圖的頂點個數相同；
生成樹是圖的極小連通子圖，去掉一條邊則非連通；
一個有 n 個頂點的連通圖的生成樹有 n-1 條邊；
在生成樹中再加一條邊必然形成迴路；
生成樹中任意兩個頂點間的路徑是唯一的。

注意含有 n 個頂點 n-1 條邊的圖不一定是生成樹。

1.2 如何建立無向圖的生成樹

回顧：深度 / 廣度優先搜索

設圖 G = ( V, E ) 是個連通圖，當從圖任一頂點出發遍歷圖G 時，將邊集 E(G) 分成兩個集合 T(G) 和 B(G)。其中 T(G) 是遍歷圖時所經過的邊的集合，B(G) 是遍歷圖時未經過的邊的集合。顯然，G1(V, T) 是圖G 的最小連通子圖。即子圖G1 是連通圖G 的生成樹。

二，最小生成樹（Minimum Spanning Trees）

如下圖，生成了兩個生成樹，權值分別爲 19 和 17.

最小生成樹

給定一個無向網絡，則該網的所有生成樹中，使得各邊權值之和最小的那棵生成樹稱爲該網的最小生成樹，也叫最小代價生成樹。

2.1 最小生成樹的典型用途

欲在 n 個城市間建立通信網，在 n 個城市應鋪 n-1 條線路；
但因爲每條線路都會相對應的經濟成本，而 n 個城市最多有 n*(n-1)/2 條線路，那麼，如何選擇 n-1 條線路，使總費用最少？

顯然，此聯通網是一個生成樹，並且我們希望他是一個最小生成樹。

2.2 構造最小生成樹（MST）

2.2.1 MST 性質

視頻講解：6.6.1最小生成樹3–MST性質
構造最小生成樹的算法很多，其中多數算法都利用了MST的性質。

MST 性質

設 N =（ V, E ）是一個連通網，U 是頂點集 V 的一個非空子集。若邊（u，v）是一條具有最小權值的邊，其中 u∈U，v∈V - U，則必存在一棵包含邊（u，v）的最小生成樹。

MST 性質解釋：
再生成樹的構造過程中，圖中 n 個頂點分屬兩個集合

已經落在生成樹上的頂點集：U
尚未落在生成樹上的頂點集：V - U

接下來則應在所有連通 U 中頂點和 V - U中頂點的邊中選取權值最小的邊。

2.2.2 Prim 算法構建最小生成樹

視頻講解：青島大學–王卓 Prim 算法
算法思想

設 N = （V，E）是連通圖，TE 是 N 上最小生成樹中邊的集合。
初始令 U = { u₀ }，（u₀∈V），TE = { }。
在所有 u∈U，v∈V - U的邊（u，v）∈E 中，找一條代價（權值）最小的邊（u₀，v₀）。
如下圖 U = { 1，3 }，V - U = { 2, 4, 5, 6 }

如下圖 U = { 1，3 ，6}，V - U = { 2, 4, 5 }
將（u₀，v₀）併入集合 TE，同時 v₀ 併入 U。
重複上述操作直至 U = V 爲止，則 T = ( V, TE ) 爲 N 的最小生成樹。
最終結果如下圖所示