10分鐘瞭解關鍵路徑及如何求得關鍵路徑

視頻參考：6.6.4關鍵路徑2–求解關鍵路徑

一，什麼是關鍵路徑

【引例 1】某項目的任務是對A公司的辦公室重新進行裝修
如果10月1日前完成裝修工程，項目最遲應該合適開始？
（需要完成的活動、每個活動所需時間、及先期需完成工作如下圖所示）

【引例 2】準備一個小型家庭宴會，晚6點宴會開始，最遲幾點開始準備？壓縮哪項活動時間可以使總時間減少？

我們把工程計劃表示爲邊表示活動的網絡，即 AOE網，用頂點表示事件，弧表示活動，弧的權表示活動持續時間。

事件表示在它之前的活動已經完成，在它之後的活動可以開始。

【引例 3】設一個工程有 11項活動，9 個事件。

• 事件 v₁ ---- 表示工程的開始（源點：入度爲0的頂點）
• 事件 v₉ ---- 表示工程的結束（匯點：出度爲0的頂點）
  

對於AOE網，我們關心兩個問題：

1. 完成整項工程至少需要多少時間？ — 求關鍵路徑長度
2. 哪些活動是影響工程進度的關鍵？ — 求關鍵路徑上經過的頂點（活動）

關鍵路徑 — 路徑長度最長的路徑。
路徑長度 — 路徑上各活動持續時間之和。

最終，這道題就變成了求解關鍵路徑的問題。

二，求解關鍵路徑需要的4個描述量

確定關鍵路徑之前，我們需要定義4個描述量（以上圖爲例）：

• ve(v_j) ----- 表示時間 v_j 的最早發生時間。
  例：ve(v₁) = 0、ve(v₂) = 30
• vl(v_j) ----- 表示時間 v_j 的最晚發生時間。
  例：vl(v₄) = 180 - 15 = 165
• e(i) ---- 表示活動 a_i 的最早開始時間。
  例：e(a₃) = 30
• l(i) ---- 表示活動 a_i 的最晚開始時間。
  例：l(a₃) = 180 - 30 - 60 - 60 = 120

l(i) - e(i) ---- 表示完成活動 a_i 的時間餘量。
例：l(3) - e(3) = 90

關鍵活動 ---- 關鍵路徑上的活動，即 l(i) == e(i)即（l(i) - e(i) = 0）的活動。

三，如何求得關鍵路徑

那麼我們如何找到滿足 l(i) == e(i)的關鍵活動？

設活動 a_i 用弧 < j, k > 表示，其持續時間記爲：w_j,k
則有：

1. e(i) == ve(j)
2. l(i) = vl(k) - w_j,k
   

如何求得 ve(j) 和 vl(j) ？

1. 從 ve(1) = 0 開始向前地推
   ve(j) = Max_i{ ve(j) + w_i,j }，< i, j >∈T，2 ≤ j ≤ n
   其中 T 是所有以 j 爲頭的弧的集合。
2. 從 vl(n) = ve(n) 開始向後遞推
   vl(j) = Min_j{ vl(j) + w_i,j }，< i, j >∈S，1 ≤ i ≤ n-1

下邊我們通過一個例子來說明，求得關鍵路徑的步驟（視頻：28min開始）

關鍵路徑的討論

1. 若網中有幾條關鍵路徑，則需要加快同時在幾條關鍵路徑上的活動。
   如：a₁₁、a₁₀、a₈、a₇。
2. 如果一個活動處於所有的關鍵路徑上，那麼提高這個活動的速度，就能縮短整個工程的完成時間。
   如：a₁、a₄。
3. 處於所有關鍵路徑上的活動完成時間不能縮短太多，否則會是的原來的關鍵路徑變成非關鍵路徑。這時，必須重新尋找關鍵路徑。
   如：a₁ 由 6天變成 3天，就會改變關鍵路徑。