10分钟了解关键路径及如何求得关键路径

视频参考：6.6.4关键路径2–求解关键路径

一，什么是关键路径

【引例 1】某项目的任务是对A公司的办公室重新进行装修
如果10月1日前完成装修工程，项目最迟应该合适开始？
（需要完成的活动、每个活动所需时间、及先期需完成工作如下图所示）

【引例 2】准备一个小型家庭宴会，晚6点宴会开始，最迟几点开始准备？压缩哪项活动时间可以使总时间减少？

我们把工程计划表示为边表示活动的网络，即 AOE网，用顶点表示事件，弧表示活动，弧的权表示活动持续时间。

事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以开始。

【引例 3】设一个工程有 11项活动，9 个事件。

• 事件 v₁ ---- 表示工程的开始（源点：入度为0的顶点）
• 事件 v₉ ---- 表示工程的结束（汇点：出度为0的顶点）
  

对于AOE网，我们关心两个问题：

1. 完成整项工程至少需要多少时间？ — 求关键路径长度
2. 哪些活动是影响工程进度的关键？ — 求关键路径上经过的顶点（活动）

关键路径 — 路径长度最长的路径。
路径长度 — 路径上各活动持续时间之和。

最终，这道题就变成了求解关键路径的问题。

二，求解关键路径需要的4个描述量

确定关键路径之前，我们需要定义4个描述量（以上图为例）：

• ve(v_j) ----- 表示时间 v_j 的最早发生时间。
  例：ve(v₁) = 0、ve(v₂) = 30
• vl(v_j) ----- 表示时间 v_j 的最晚发生时间。
  例：vl(v₄) = 180 - 15 = 165
• e(i) ---- 表示活动 a_i 的最早开始时间。
  例：e(a₃) = 30
• l(i) ---- 表示活动 a_i 的最晚开始时间。
  例：l(a₃) = 180 - 30 - 60 - 60 = 120

l(i) - e(i) ---- 表示完成活动 a_i 的时间余量。
例：l(3) - e(3) = 90

关键活动 ---- 关键路径上的活动，即 l(i) == e(i)即（l(i) - e(i) = 0）的活动。

三，如何求得关键路径

那么我们如何找到满足 l(i) == e(i)的关键活动？

设活动 a_i 用弧 < j, k > 表示，其持续时间记为：w_j,k
则有：

1. e(i) == ve(j)
2. l(i) = vl(k) - w_j,k
   

如何求得 ve(j) 和 vl(j) ？

1. 从 ve(1) = 0 开始向前地推
   ve(j) = Max_i{ ve(j) + w_i,j }，< i, j >∈T，2 ≤ j ≤ n
   其中 T 是所有以 j 为头的弧的集合。
2. 从 vl(n) = ve(n) 开始向后递推
   vl(j) = Min_j{ vl(j) + w_i,j }，< i, j >∈S，1 ≤ i ≤ n-1

下边我们通过一个例子来说明，求得关键路径的步骤（视频：28min开始）

关键路径的讨论

1. 若网中有几条关键路径，则需要加快同时在几条关键路径上的活动。
   如：a₁₁、a₁₀、a₈、a₇。
2. 如果一个活动处于所有的关键路径上，那么提高这个活动的速度，就能缩短整个工程的完成时间。
   如：a₁、a₄。
3. 处于所有关键路径上的活动完成时间不能缩短太多，否则会是的原来的关键路径变成非关键路径。这时，必须重新寻找关键路径。
   如：a₁ 由 6天变成 3天，就会改变关键路径。