最美二叉樹—平衡二叉樹

原創

如初⁰

2020-06-12 23:42

一、平衡二叉樹的定義

平衡二叉樹，簡稱平衡樹（AVL樹）——樹上任一結點的左子樹和右子樹的高度之差不超過1。

結點的平衡因子=左子樹高-右子樹高。

typedef struct AVLNode{
    int key;
    int balance;
    struct AVLNode *lchild,*rchild;
}AVLNode,*AVLTree;

二、平衡二叉樹的插入

思考：在二叉排序樹中插入新結點後，如何保持平衡？

注：每次調整的對象都是“最小不平衡子樹”

三、調整最小不平衡子樹A

四種情況：

①LL——在A的左孩子的左子樹中插入導致不平衡

②RR——在A的右孩子的右子樹中插入導致不平衡

③LR——在A的左孩子的右子樹中插入導致不平衡

④RL——在A的右孩子的左子樹中插入導致不平衡

四、調整最小不平衡子樹（LL）

目標：1.恢復平衡；2.保持二叉排序樹特性

二叉排序樹的特性：左子樹結點值<根節點值<右子樹結點值

BL<B<BR<A<AR

LL平衡旋轉（右單旋轉）。由於在結點A的左孩子（L）的左子樹（L）上插入了新結點，A的平衡因子由1增至2，導致以A爲根的子樹失去平衡，需要一次向右的旋轉操作。將A的左子樹B向右上旋轉代替A稱爲根節點，將A結點向右下旋轉稱爲B的右子樹的根結點，而B的原右子樹則作爲A結點的左子樹。

五、調整最小不平衡子樹（RR）

二叉排序樹的特性：左子樹結點值<根節點值<右子樹結點值

AL<A<BL<B<BR

RR平衡旋轉（左單旋轉）。由於在結點A的右孩子（R）的右子樹（R）上插入了新結點，A的平衡因子由-1減至-2，導致以A爲根的子樹失去平衡，需要一次向左的旋轉操作，將A的右孩子B向左上旋轉代替A稱爲根結點，將A結點向左下旋轉稱爲B的左子樹的根結點，而B的原左子樹則作爲A結點的右子樹

代碼思路

實現f向右下旋轉，p向右上旋轉：

其中f是爹，p爲左孩子，g爲f他爹

①f->lchild = p->rchild;

②p->rchild = f;

③gf->lchild/rchild = p;

BL<B<BR<A<AR

實現f向左下旋轉，p向左手旋轉：

其中f是爹，p爲右孩子，gf爲f他爹

①f->rchild = p->lchild;

②p->lchild = f;

③gf->lchild/rchild = p;

AL<A<BL<B<BR

七、調整最小平衡子樹（LR）

LR平衡旋轉（先左後右雙旋轉）。由於在A的左孩子（L）的右子樹（R）上插入新結點，A的平衡因子由1增至2，導致以A爲根的子樹失去平衡，需要進行兩次旋轉操作，先左旋轉後又旋轉。先將A結點的左孩子B的右子樹的根結點C向左上旋轉提升到B結點的位置，然後再把該C結點向右上旋轉提升到A結點的位置

BL<B<CL<C<CR<A<AR

兩種情況：

①

②

八、調整最小不平衡子樹（RL）

RL平衡旋轉（先右後左雙旋轉）。由於在A的右孩子（R）的左子樹（L）上插入新結點，A的平衡因子由-1減至-2，導致以A爲根的子樹失去平衡，需要進行兩次旋轉操作，先右旋轉後左旋轉。先將A結點的右孩子B的左子樹的根節點C向右上旋轉提升到B結點的位置，然後再把該C結點向左上旋轉提升到A結點的位置