標準霍夫變換

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1. 霍夫變換簡介

• 目的 ：從圖像中分離出具有某種相同特徵的幾何形狀

霍夫變換是圖像處理中 從圖像中識別幾何形狀 的基本方法之一
最基本的霍夫變換是從黑白圖像中檢測直線
在圖像處理中可以通過霍夫變換可以快速的檢測出直線或圓

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2. 霍夫線變換

霍夫線變換是用來尋找圖片中直線的方法

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2.1. 檢測圖片的條件

首先要對圖像進行 邊緣檢測 的處理
也即霍夫線變換的直接輸入只能是 邊緣二值圖像，如下圖：

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2.2. 直線的表示

一條直線在圖像二維空間可由兩個變量表示，如：

• 在笛卡爾座標系：可由參數 斜率 k 和 截距 b 表示：y = kx + b
  不過，由於直線的斜率可能爲無窮大，或者無窮小
  那麼在k-b參數空間就不便於對直線進行描述和刻畫
• 在極座標系：可由參數(r, θ)極徑和極角表示
  
  對於霍夫變換，將用極座標系來表示直線
  參考 y=kx + b，直線的表達式可爲：
  
  化簡結果：$r$ = xcosθ + ysinθ

一般來說對於點（x₀, y₀）
可以將通過這個點的一簇直線同一定義爲：$r$ = x₀cosθ + y₀sinθ
這就意味着對於每一對（r, θ）代表一條通過點（x₀, y₀）的直線

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2.3. 所有通過點的直線

如果對於一個給定點（x₀, y₀）
在極座標對極徑極角平面繪出所有通過它的直線，將得到一條正弦曲線
如對於給定點 x₀ = 8 和 y₀ = 6，可以繪出下圖：

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2.4. θ - r 相交

對圖像中所有點進行上述操作：歷遍 $θ$，得到 $r$，得到所有通過點的直線的表達

如果兩個不同點經過上述操作後得到的曲線在平面 $θ - r$ 相交
就意味着 它們可以在同一條直線上

繼續對存在的點 x₁=9，y₁=4 和 點 x₂=12, y₂=3 歷遍操作，得到下圖：

這三條曲線在 $θ - r$ 平面相交於點(0.925, 9.6)
那麼參數對（θ, r）爲點（x₀, y₀），（x₁, y₁）和（x₂, y₂）組成的平面內的直線

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2.5. 閾值定義直線

一般來講，一條能夠通過在平面 $θ - r$ 尋找交於一點的曲線數量檢測
越多曲線交於一點也就意味着這個交點表示的直線由更多的點組成

一般來說可以通過設置直線上點的閾值
來定義多少條曲線交於一點認爲檢測到了一條直線

圖像中的每個點對應曲線間的交點，如果交於一點的曲線數量超過了閾值
那麼可以認爲這個交點所代表的參數對(θ, r_θ)在原圖像中爲一條直線

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3. 霍夫圓變換

霍夫圓變換的基本原理和霍夫線變換類似
只是點對應的二維極徑極角空間被三維的圓心點x、 y及半徑r空間取代

對圓來說，需要三個參數來表示一個圓 C：(X₀, Y₀, $r$)
(X₀, Y₀) 表示圓心的位置，$r$ 表示半徑

現在原邊緣圖像的任意點（x，y）對應的經過這個點的所有可能圓
圓的數學的數學表達式爲：(x - x₀)² +(y - y₀)² = r²
是在三維空間由上面這三個參數來表示了，對應一條三維空間的曲線

與二維的霍夫線變換同樣的道理
對於多個邊緣點越多，這些點對應的三維空間曲線相交於一點
那麼經過共同圓的點就越多

類似的可以用同樣的閾值的方法來判斷一個圓是否被檢測到
這就是標準霍夫圓變換的原理
但也正是在三維空間計算量大，標準霍夫圓變化很難被應用到實際中

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