O(logN)求斐波那契數列第N項：動態規劃、矩陣分治

logN求Fibonacci數列第N項

• 斐波那契數列通項公式 $F(i)=F(i-1)+F(i-2)$
• 以下介紹兩種複雜度爲$O(logN)$的算法
• 兩種方法思想類似

1. 動態規劃

• 當我們嘗試將$F(i-1)$和$F(i-2)$進行繼續拆解時（始終保持兩項），發現兩項的係數始終是斐波那契數列中的某一相鄰兩項
• 因此，F(i)一定可以可以由4個項組成
  • $F(i)=F(i-a)F(i-x)+F(i-b)F(i-(x-1))$
  • 當$a=0$時則爲$F(i)=F(2)F(i-1)+F(1)F(i-2)$
  • 且a，b，x具有一定關係

思路

a，b，x有多種可能
此時需要算4個小項才能合併到1個大項
若這4個項中有相同的項，則可以簡化計算
此外，越大的項，計算的複雜度越大，反之越小

因此我們可以想到取 $i/2$ 附近的項

• 通過遞推得（也可以用較小的$i$找找規律）
  • 當$i$爲奇數時，$F(i)=F^2(i/2+1)+F^2(i/2)$
  • 當$i$爲偶數時，$F(i)=F(i/2+1)*F(i/2)+F(i/2)*F(i/2-1)$

即我們將一個遞推項分成2或3項分別計算後再合併

• 可以分析複雜度爲$O(logN)$

• 注：在實際程序實現中，不能直接return F(i/2+1)*F(i/2)+F(i/2)*F(i/2-1)，這樣會造成計算冗餘
• 應該先保存下結果，計算後return

DP代碼

int Fibonacci(int x) // logN
{
    if (x == 1 || x == 2) return 1;
    if (x % 2 != 0)
    {
        int F1 = Fibonacci(x / 2 + 1), F2 = Fibonacci(x / 2);
        return F1 * F1 + F2 * F2;
    }
    else
    {
        int F1 = Fibonacci(x / 2 + 1), F2 = Fibonacci(x / 2), F3 = Fibonacci(x / 2 - 1);
        return F1 * F2 + F2 * F3;
    }
}

2. 矩陣分治

• 結合矩陣的知識，我們可以知道斐波那契數列符合
• 於是隨着等號右邊中的斐波那契項的項數$i$降低，該矩陣就不斷左乘

因此可以基於矩陣結合律計算若干項矩陣乘積，再左乘$F(1) and F(2)$

• 設該矩陣爲A
• 則$A^n=A^{n/2}*A^{n/2}$
• 其中$A^{n/2}$只需計算一項
• 依次類推

這就是快速冪的思想

快速冪講解

代碼

int[2][2] Matrix(int x)
{
    int a[2][2] = { { 1, 1 }, { 0, 1 } };
    if (x == 1) return a;
    int b[2][2] = Matrix(x / 2);
    if (x % 2 == 0) return b * b; // 省略矩陣乘法
    return b * b * a;
}