O(logN)求斐波那契数列第N项：动态规划、矩阵分治

logN求Fibonacci数列第N项

• 斐波那契数列通项公式 $F(i)=F(i-1)+F(i-2)$
• 以下介绍两种复杂度为$O(logN)$的算法
• 两种方法思想类似

1. 动态规划

• 当我们尝试将$F(i-1)$和$F(i-2)$进行继续拆解时（始终保持两项），发现两项的系数始终是斐波那契数列中的某一相邻两项
• 因此，F(i)一定可以可以由4个项组成
  • $F(i)=F(i-a)F(i-x)+F(i-b)F(i-(x-1))$
  • 当$a=0$时则为$F(i)=F(2)F(i-1)+F(1)F(i-2)$
  • 且a，b，x具有一定关系

思路

a，b，x有多种可能
此时需要算4个小项才能合并到1个大项
若这4个项中有相同的项，则可以简化计算
此外，越大的项，计算的复杂度越大，反之越小

因此我们可以想到取 $i/2$ 附近的项

• 通过递推得（也可以用较小的$i$找找规律）
  • 当$i$为奇数时，$F(i)=F^2(i/2+1)+F^2(i/2)$
  • 当$i$为偶数时，$F(i)=F(i/2+1)*F(i/2)+F(i/2)*F(i/2-1)$

即我们将一个递推项分成2或3项分别计算后再合并

• 可以分析复杂度为$O(logN)$

• 注：在实际程序实现中，不能直接return F(i/2+1)*F(i/2)+F(i/2)*F(i/2-1)，这样会造成计算冗余
• 应该先保存下结果，计算后return

DP代码

int Fibonacci(int x) // logN
{
    if (x == 1 || x == 2) return 1;
    if (x % 2 != 0)
    {
        int F1 = Fibonacci(x / 2 + 1), F2 = Fibonacci(x / 2);
        return F1 * F1 + F2 * F2;
    }
    else
    {
        int F1 = Fibonacci(x / 2 + 1), F2 = Fibonacci(x / 2), F3 = Fibonacci(x / 2 - 1);
        return F1 * F2 + F2 * F3;
    }
}

2. 矩阵分治

• 结合矩阵的知识，我们可以知道斐波那契数列符合
• 于是随着等号右边中的斐波那契项的项数$i$降低，该矩阵就不断左乘

因此可以基于矩阵结合律计算若干项矩阵乘积，再左乘$F(1) and F(2)$

• 设该矩阵为A
• 则$A^n=A^{n/2}*A^{n/2}$
• 其中$A^{n/2}$只需计算一项
• 依次类推

这就是快速幂的思想

快速幂讲解

代码

int[2][2] Matrix(int x)
{
    int a[2][2] = { { 1, 1 }, { 0, 1 } };
    if (x == 1) return a;
    int b[2][2] = Matrix(x / 2);
    if (x % 2 == 0) return b * b; // 省略矩阵乘法
    return b * b * a;
}