《一週學完光線追蹤》學習 四 顯示一個球

蒙特卡洛光線追蹤技術系列 見 蒙特卡洛光線追蹤技術

讓我們在光線跟蹤器中添加一個對象。人們經常在光線跟蹤器中使用球體，因爲計算光線是否擊中球體非常簡單。回想一下，以半徑R原點爲中心的球體的方程是x*x+y*y+z*z=R*R。讀取該方程的方法是“對於任何（x，y，z），如果x*x+y*y+z*z=R*R，則（x，y，z）在球體上，否則它不在”。如果球體中心位於（cx，cy，cz），則會變得更醜：

在圖形中，你幾乎總是希望你的公式是矢量形式的，所以所有的x/y/z都在vec3類中。您可能會注意到，從中心C=（C x，C y，C z）到點p=（x，y，z）的向量是（p-C）。點（（p-C），（p-C））=（y-cy）*（y-cy）+（z-cz）*（z-cz）。所以矢量形式的球方程是：

我們可以把它理解爲“滿足這個方程的任何點p都在球面上”。我們想知道我們的射線p（t）=A+t*B是否曾撞擊過球體的任何地方。如果它真的碰到了球，有一些t，p（t）滿足球方程。所以我們在尋找任何一個t，如果這是真的：

或展開射線p（t）的完整形式：

向量代數的規則就是我們想要的，如果我們把方程展開，把所有的項移到左邊，我們得到：

方程中的向量和R都是常數和已知的。未知的是t，方程是二次方程，就像你在高中數學課上看到的。你可以解t，有一個平方根部分，它要麼是正的（意味着兩個實解），要麼是負的（意味着沒有實解），要麼是零（意味着一個實解）。在圖形學中，代數幾乎總是與幾何學直接相關。我們所擁有的是：

如果我們把這個數學公式和硬編碼輸入到程序中，我們可以通過在z軸上的-1處的小球上塗上紅色來測試它：

bool hit_sphere(const Vector3& center, float radius, const Ray&r) {
	Vector3 oc = r.origin() - center;
	float a = dot(r.direction(), r.direction());
	float b = 2.0*dot(oc, r.direction());
	float c = dot(oc, oc) - radius*radius;
	float discriminant = b*b - 4 * a*c;
	return (discriminant > 0);
}
Vector3 color(const Ray&r) {
	if (hit_sphere(Vector3(0, 0, -1), 0.5, r))return Vector3(1, 0, 0);
	Vector3 unit_direction = unitVector(r.direction());
	float t = 0.5*(unit_direction.y() + 1.0);
	return (1.0 - t)*Vector3(1.0, 1.0, 1.0) + t*Vector3(0.5, 0.7, 1.0);
}


........ main函數 ........ 

	for (int j = HEIGHT-1;j >= 0;j--) {
		for (int i = 0;i < WIDTH;i++) {
			int offset = (WIDTH*j + i) * 4;
			float u = float(i) / float(WIDTH);
			float v = float(j) / float(HEIGHT);
			Ray r(origin, lower_left_corner+u*horizontal+v*vertical);
			Vector3 col = color(r);
			Pixels[offset + 0] = (unsigned char)255.99*col[0];
			Pixels[offset + 1] = (unsigned char)255.99*col[1];
			Pixels[offset + 2] = (unsigned char)255.99*col[2];
			Pixels[offset + 3] = 255;
		}
	}

測試結果：