數值分析複習（一）線性插值、拋物線插值

原創

2020-06-14 01:03

線性插值

數學上定義:線性插值是指插值函數爲一次多項式的插值方式,其在插值節點上的插值誤差爲0;
在圖片上，我們利用線性插值的算法，可以減少圖片的鋸齒,模糊圖片;

線性插值的計算規則

假設我們已知座標 (x0, y0) 與 (x1, y1)，要得到 [x0, x1] 區間內某一位置 x 在直線上的值。根據圖中所示，我們得到：

由於 x 值已知，所以可以從公式得到 y 的值:

拋物線插值（可推廣至高次插值）

設在區間上給定n+1個點 $a\leq x_0 < x_1 < \cdots <x_n \leq b$ 上的函數值 $y_i=f(x_i),求次數不超過n的多項式，使得P(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots$ 求次數不超過n的多項式，使得

$P(x_i)=y_i,i=0,1,\cdots,n$ ,由此可得到關於係數 $a_0,a_1,\cdots,a_n$ 的n+1元線性方程組

$\left\{ \begin{array}{l} a_0+a_1x_0+\cdots+a_nx_0^n=y_0 \\ a_0+a_1x_1+\cdots+a_nx_1^n=y_1\\ \vdots\\ a_0+a_1x_n+\cdots+a_nx_n^n=y_n\\ \end{array} \right.$

此方程組的係數矩陣爲範德蒙德矩陣,表示爲

$A=\begin{bmatrix} 1 & x_0 &\cdots&x_0^n \\ 1 & x_1 &\cdots& x_1^n \\ \vdots & \vdots & &\vdots\\ 1 & x_n & \cdots & x_n^n \end{bmatrix}$

由於 $x_i(i=0,1,\cdots,n)$ 互異，故

$detA=\prod _{\substack{i,j=0 \\i>j}}^n(x_i-x_j) \neq 0$

因此，線性方程組的解存在且唯一，故插值多項式存在唯一

注：顯然直接求解方程組可以得到插值多項式，但這是求插值多項式最蠢的方法，一般不採用，常用的是拉格朗日插值法或牛頓插值

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