量子力學 or 線性代數（Stern-Gerlach實驗）？

一. 實驗背景

1920-1922年間,德國科學家O. Stern和 W. Gerlach用高溫產生的銀原子束在一不均勻的磁場中發生偏轉得到2條裂痕的結果,第一次通過簡潔的宏觀實驗驗證了A. Sommerfeld等人提出的“微觀原子世界的角動量具有空間量子化特徵”假說,這一結論也被隨後誕生的量子力學所證明. Stern-Gerlach實驗提供了測量原子磁矩的一種方法,在此基礎上進一步發展的原子束和分子束技術,使Stern獲得了1943年的諾貝爾物理學獎。該實驗也是1925年G. E. Unlenbeck和S. A. Goudsmit提出電子自旋假設,並確定自旋磁矩大小的重要實驗依據之一,不同糾纏量子態的粒子在磁場中分離，是當今量子信息研究熱點。正是因爲它如此重要，爲了給後面量子力學的學習鋪路，今天大家一起來學習一下這個 相對來說比較複雜的實驗。（大家可以自行百度，大物裏面應該都有這個實驗 ，但是IT專業的學生可能會有點費勁，比如我）。

本次可能需要大家擁有比較紮實的高中物理電磁學的基礎知識，和數學能力，和前 2 次 的博客有所不同，畢竟科學的殿堂是莊嚴肅穆的，嬉皮笑臉的肯定是不行的！

二 . 實驗準備

小夥伴們，先和我一起把記憶拉回到我們共同 懷戀的 ，青澀的 高中時代，高二開始，幾乎所有的理科生一起抱着必死的決心 踏上了物理電磁學的不歸路（手動滑稽）。。。。
多說無益，先上圖：

根據我殘破不堪的高中知識，我們知道；這個磁感線是不均勻的穿過這個線圈，且線圈中存在一個逆時針方向的電流（自上向下看），這種情形下，線圈將受到一個向上的安培力 F （姑且先這樣認爲），其大小和電流強度 $I$ 、線圈圍成的面積 $S$ 、磁感應強度的變化率$\frac{\Delta B}{\Delta t}$成正比,即：
$F=IS\cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$
注意，這裏我們介紹一個新的有關上述表達式的物理量：$\mu =I\cdot S$ ，叫做 “磁矩”。

所以上述安培力$F$可以表示爲：$F=\mu\cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$，由於後面實驗多次用到 磁矩 的概念，我們在這裏簡介一下：

磁矩：描述載流線圈或微觀粒子磁性的物理量，是一個有方向的矢量，它的方向垂直於線圈所在平面，在均勻外磁場中，平面載流線圈所受合力爲零而所受力矩不爲零，該力矩使線圈的磁矩m轉向與外磁場B的方向相同的方向；在均勻徑向分佈外磁場中，平面載流線圈受力矩偏轉。

在高中我們就知道磁感線與線圈的方向即二者之間的夾角也會對 $F$產生比較大的影響，這個點我們在下面實際試驗的時候再說。

上述公式，$F$ 只是一個計算式，爲了更適用現實情況，我們將這個式子改寫爲一個更普適的矢量式：
$F=\bigtriangledown(\mu \cdot B )$
這裏出現了哈密頓算子，後續數學公式推導的實現需要，在這裏我們只要簡單的學一下就好：

記號讀作“那勃勒”，在運算中既有微分又有矢量的雙重運算性質，其優點在於可以把對矢量函數的微分運算轉變爲矢量代數的運算，從而可以簡化運算過程，並且推導簡明扼要，易於掌握。

到這裏我們做這個試驗必備的知識點已經解決一半了 ，但是剩下的一半纔是最重要的。同樣是回憶高中“美好”的時光，這次將我們記憶的曲線變成以化學爲橫座標的時光軸。在物質的《結構與性質》中，我們都知道一個原子核外電子會繞着原子核做圓周運動，並且我們將核外軌道分爲 $s,p$ 等能級，基態和激發態 的電子填充規律（遵循泡利原理和洪特規則）等等，除此之外，我們還知道的是每個電子的都存在自旋，且在一個能級的同一個軌道中，2個電子的自旋方向是相反的，下圖的2個原子例子我相信你能很快就回憶起來：

現在我們結合上面剛剛講解的磁矩的知識，電子在繞和做圓周運動的時候 會產生微弱的感應帶電流，同樣 ，自旋的時候也會產生。特別注意的是：電子的自旋不是我們所理解的電子的自轉，不能和地球公轉與自轉相類比，電子自旋是量子效應，不能作經典的理解，如果把電子自旋看成繞軸的旋轉，則得出與相對論矛盾的結果）。這個時候，由於自旋就會產生磁矩，成爲“自旋磁矩”, 其具有固定的大小，後面我們都用$\mu$ 來表示這個自旋磁矩。

三 . 實驗過程

實驗用具是:一個加熱爐、兩個挖了小圓孔的擋板、一對磁極和一個接收屏.
就像這樣，看上去比較簡單：

我們這裏在加熱爐中對 銀子（沒錯，就是金屬銀）加強熱，使得銀原子向各個方向發射大量的銀原子，兩個挖了小圓孔的擋板是爲了篩選出 運動軌跡爲一條直線 且方向磁場方向飛去的符合標準的銀原子。這些銀原子通過兩塊磁鐵間分佈於$Z$軸方向的不均勻磁場後，會到達接收屏形成光斑。。。

四 . 實驗結果

（1）猜測結果：

剛剛我們纔講過，銀原子中電子的磁矩是使得銀原子在圖示中 $z$ 軸方向上 磁場中發生一切偏轉的動力，再根據我們前面 實驗準備 中講的 泡利原理 和 洪特規則 ，銀原子的 $47$ 核外電子中，前$46$個每2個的電子（即在同一軌道能級上的，假設這裏的所有銀原子都處於基態。）的自旋方向相反，所以真正起作用的就是最後一個電子的自旋磁矩。

換句話說，銀原子的整體磁矩大小就等於1個電子的自旋磁矩大小 $\mu$ 。
下面我們來推導一下：磁矩的方向。

之前我們將 $F$使用哈密頓算子表示爲：$F=\mu\cdot \frac{\Delta B}{\Delta t}$
展開成分量形式爲：

顯然，根據裝置我們可以一眼看出這個偏轉的力來自$Z$軸方向，我們只需要取$Z$軸方向即可。。

同理，只取$Z$軸方向上的，最後我們得到的最終結果爲：$F_{z} = \mu _{z}\frac{\partial B_{z}}{\partial _{z}}$

因爲每一個銀原子的磁矩大小是確定的，就是一個電子的自旋磁矩大小，但是它的方向是隨機的，每一個銀原子的可能都是不一樣的，這裏我們可以先假設某顆銀原子進入磁場前，磁矩方向與 $+Z$ 方向成 $\theta$ 角度,那麼磁矩的 $z$ 分量就是$\mu _{z}=\mu cos\theta$，於是銀原子飛入磁場後，受力大小就是： $F_{z} = \mu _{z}\frac{\partial B_{z}}{\partial _{z}}cos\theta$
按照高中我們已經學習的經典物理的理解，由於銀原子的磁矩方向隨機，所以不同的銀原子的磁矩方向 $\theta$ ，可以在 0 到 $\pi$之間任意取值，並且機會均等,，所以，銀原子所受的力 $F_{z}$ 和加速度 $a$ 的取值區間爲：

$- \mu \frac{\partial B}{\partial z} \leq F_{z}\leq \mu \frac{\partial B}{\partial z}$
$- \frac{\mu }{m}\frac{\partial B}{\partial z} \leq F_{z}\leq \frac{\mu }{m} \frac{\partial B}{\partial z}$
如果這樣解釋的話，最後，當足夠多個銀原子打到接收屏上後，這些軌跡會在屏幕上形成一條 $Z$方向上的連續線段.
當然這個我們猜測的，實踐是檢驗真理的唯一標準。

（2）真實結果：

相信你已經知道了，如果那麼簡單，那我們學這個幹嘛，和量子力學有個P關係。。
真實結果爲:

和我們猜測的結果不同的地方在於：銀原子一進入磁場，就自動劈裂了涇渭分明的兩條軌跡，最後在屏幕上打出兩個分離的斑點，介咋嘛和偶們想的不一樣啊！！！

五. 實驗結果分析解釋

雖然經典想法中的隨機性會讓我們認爲打出來的點會均勻的分佈以形成一條連續的直線。但實驗結果卻告訴我們，這個猜測並不對，實驗結果背後隱藏的真正的隨機性，其實是來自量子層面的，這個時候，我們前面學的疊加態知識在這裏就能大展身手了！！

對於任意一顆銀原子，只要我們不去測量它在某個方向上(比如 $Z$軸 方向上 )的磁矩，它就處於量子疊加態，而沒有確定的方向。而只有當我們去測量它的磁矩時，它纔會隨機坍縮到這個測量行爲所對應的本徵態上，被我們測量到，換句話說，測量結果只能是被測量的物理量對應的本徵態之一。而我們這個實驗就相對於是一種測量磁矩的手段。

所以，如果我們去測量它在$Z$方向的磁矩,那麼測量結果就只能是“ Z方向磁矩”這個物理量的兩個本徵態，這正好就是“磁矩處於 $-Z$方向”和“磁矩處於 $+Z$ 方向”兩個結果，於是我們就看到，大量銀原子通過磁場後，會形成兩條涇渭分明的軌跡。

這個我們還要注意一個問題：我們前面學習過 疊加態測量後會坍縮到本徵態，而本徵態在態空間中是相互正交的，但是在這個實驗中我們發現，在宏觀世界中，$-Z$軸與$+Z$軸之間的夾角是 $\pi$ ,並不是正交的。

如果將兩個本徵態在態空間中的“夾角”記爲 $\varphi$ 、在真實空間中的夾角記爲 $\theta$，那麼從上面的分析可以看出，它們之間似乎有着簡單的倍數關係： $\theta= 2\varphi$,是巧合 ，還是必然，後面的陸續學習中我們會逐漸揭曉謎底。。。。。

六 . 級聯SG實驗

爲了更加深刻的解釋實驗的本質，我們在原有的簡單基礎上又再次進行三次加強版實驗（級聯實驗）。

（1）級聯 S
前面簡單的SG實驗中，銀原子分成了上下兩束，說明測量銀原子 $Z$ 方向自旋時，原本處於疊加態的銀原子狀態，隨機落到了兩個本徵態上,我們在這裏將這兩個本徵態分別記爲：$|Z_{+}>,|Z_{-}>$。

在這個實驗中，我們需要改動的地方是：我們將原來實驗裝置中的接收屏撤掉，讓其中處於 $|Z_{+}>$ 態的銀原子(也就是向上走的那一束銀原子 )繼續往前走。

經典直覺告訴我們：這束銀原子具有確定的磁矩方向，即 +Z方向，所以它們通過第二個S-G裝置時，依然會向上偏轉，而實驗的結果也告訴我們的猜測是正確的，就像我們之前用棒棒糖舉例的方法一樣，當我們測量了它的顏色之後，只要我們不去嘗它，無論看多少次，它的顏色都不會再發生改變了。

根據我們 殘破不堪 的線性基礎知識可以知道：任意向量都可以表示成某個線性算子的一組完備特徵向量(也就是一組完備基底)的線性組合。

所以，根據我們前面學過的知識：銀原子的任意量子態 $|\varphi>$ ，也都可以表示成兩個本徵態的疊加：
$|\varphi> = k_{z+}|Z_{+}> + k_{z-}|Z_{-}>$ 且 $\left | k_{z+} \right |^{2} + \left | k_{z-} \right |^{2} = 1$,其中，兩個本徵態前面的係數 $\left | k_{z+} \right |^{2},\left | k_{z-} \right |^{2}$就分別對應這個銀原子向上偏轉和向下偏轉是的相應磁矩的概率。

這對本徵態本身也成立，比如對於處於 $|Z_{+}>$ 的銀原子，它的狀態就是：$|Z_{+}1 > = 1 |Z_{+}> + 0|Z_{-}>$。
本身已經坍縮到本徵態的銀原子，我們在用同樣的方法去測量它，它還是以1的概率到Z軸的正方向上。

（1）級聯 SS

在這次實驗中，我們將改變磁場的方向，再來看一看到底發生什麼:
首先，我們仍然從簡單版的S-G實驗裝置中篩選出 $|Z_{+}>$ 的銀原子，並且撤去接收屏，讓這束銀原子通過一個通過磁場沿 $X$方向的S-G實驗裝置, 圖示如下：

如果我們還是以經典力學的思維思考的話，會認爲 原本篩選出來的磁矩是z軸正方向，所以進入Y軸方向的磁場之後，由於z軸與x軸是相互垂直的，此時，$cos\theta$ = 0，於是，銀原子受到的磁場力大小爲 $F=0$，但是，喫一塹長一智，這裏我並不這麼認爲，我認爲，即使是已經篩序出來的銀原子還是會隨機的向 $+x$ 和 $-x$方向飛去，並形成兩個明顯的點。

事實結果證明, “反其道行之” 往往纔是正確的，的確，還會分成2個點，並不會不受磁場力的作用，用量子疊加態解釋就是：

對於$|Z_{+}>$ 態的銀原子，如果去測量它的 $x$方向磁矩，那麼銀原子的狀態會隨機坍縮到 $x_{+}>$ 和 $|x_{-}>$ 中的任意一個，因爲在這裏$x$方向的兩個本徵態和$z$軸方向的兩個本徵態是不一樣的。

再根據我們前面介紹本徵態的正交性和疊加態的知識，我們可以推知： Z 方向自旋磁矩處於確定的本徵態時，X 方向自旋磁矩就處於不確定的疊加態 (這裏又一次看到了不確定性原理的影子 )

注意這裏我們同時出現了四個本徵態！前面我們曾經用一個圖形象的表示了二維平面內 四個本徵態的相互關係：

所以，我們可以根據這個大膽的推測，此時的四個本徵態關係爲：
$|Z_{+}> = \frac{1}{\sqrt{2}}|x_{+}> + \frac{1}{\sqrt{2}}|x_{-}>,|Z_{-}> =- \frac{1}{\sqrt{2}}|x_{+}> + \frac{1}{\sqrt{2}}|x_{-}>$
這個還有待驗證，日後再敘。

（1）級聯 SSS
這個實驗的目的就是對我們前面得到結論有一個“驗證”的作用。

步驟:
先讓銀原子通過一個 $SG_{z}$裝置，從中篩選出 $|Z_{+}>$ 那束銀原子，讓它們通過一個 $SG_{x}$ 裝置，然後從中又篩選出 $|x_{+}>$的銀原子，讓它們再次通過一個 $SG_{z}$裝置,看一看結果是怎麼樣的。
很顯然，我們這樣做的目的就是：看看這些銀原子是否還“記得”自己在上次通過$SG_{x}$前，“曾經”是 $|Z_{+}>$
同樣，我相信大家這次都會大膽猜測：還是會分開，形成明顯的兩個點在Z軸豎直線上。

結果也必然和我們猜測的一樣。

關於SG實驗的大概內容我們到這裏也就結束啦！都看到這了，就用您那發財的小手指點點贊吧！！