線性代數 or 量子力學 ？（七——薛定諤方程詳解）

小夥伴們 ，大家好，歡迎大家來到本篇量子博客 觀看！如果您是第一次觀看我的博客，如果您也是和我一樣剛入門量子力學或是量子計算相關的學習，糾結於量子的抽象與晦澀難懂，那麼本專欄 從線性代數到量子力學一定是您的不二之選，學海本就苦，願你有甜心，如果覺得博主寫的有錯誤的直接在評論區留言，博主也是大一的一名程序狗，希望大家多多支持，點點贊，另外，本專題是每月更或半月更，有需要的小夥伴可以點點專注！

一 . 薛定諤方程到底是啥?

我們在前面爲大家較爲詳細的推導過波函數和薛定諤方程，但是我們卻遲遲沒有說過它能夠幹些什麼，價值存在於何處？ 就像坐在電腦前的你一樣，在現實中看到美女只能遠遠的看着，卻不能得到她，有時看看也是一種奢侈 ho(´^｀)o，下面我將手把手帶你走進薛定諤方程這位美女的內心深處，體驗近代以來科學界最偉大壯麗的美！

放張大佬的圖鎮樓！

我們先來回顧一下我們本專欄的第五篇博客中介紹的一些基本內容！
$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \nabla^{2} \psi+V \psi$
這裏的幾個物理量：

• $i$ 即虛數單位；
• $\hbar=\frac{h}{2 \pi}$ 稱爲約化普朗克常數!
• $\nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)$ , 即梯度算子
• $V=V(x,y,z,t)$ 是體系中的勢能分佈，取決於具體的物理情形！
• $\psi=\psi(x,y,z,t)$ 波函數

大家都是理科生，在高中學原子物理的時候，我們就知道一個原子核的核外，會有許多的電子軌道，大量的電子形成像雲霧一樣的感覺，我們叫做電子雲，每個電子一般情況下都在固定的軌道上饒原子核做圓周運動，一個原子核的核外電子的能量往往不能連續取值，而只能處在一些分立的能量值上面，這些分立的能量值叫作電子的能級，能級相當於是包含於在不同的電子軌道里面，舉個例子：一般短週期元素有K，L, M 軌道，其中的K能層（也叫軌道）只有一個1s能級，而L能層有2s ，2p 軌道，隨着能層的增加，其每層對應的能級數也越多！ 其實這一切都是薛定諤在搞鬼！

我們研究一個物質或者某個元素的化學物理性質的時候，討論最多的就是它的能級！霓虹燈發出不同顏色的光就是加熱使得 原子的核外電子由基態或者是低能級向高能級躍遷 ，電子本身能量減少，多餘的能量以光子的形式散發出去，相鄰能級直接的能量差是固定的，比如其反射的是藍色和紫色，在單一電子能級躍遷的情況下，不可能使得電子喪失的能量輻射處於藍色和紫色之間的顏色！

說了那麼多，想揭示的就是：這些能級分佈的信息，正是薛定諤方程給出來的。換句話說，求解薛定諤方程能得到的最重要的信息，就是一個體系中允許存在的能級！

二. 解方程

我們研究的叫“薛定諤方程”，那麼既然是個方程，那麼就要解方程啊！

爲了簡化這個過程，使它變得更加友好，我這裏只需要解一維的薛定諤方程！我們開始：

一維的原方程簡化爲:
$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi+V \psi$
原來的梯度算子也只保留了X方向上的，所以這裏只需到對x求二次偏導，$V=V(x),$ $\psi=\psi(x,t)$這些都發生了變化！接下來分離變量，將波函數中的座標x和時間t變量分開:

$\psi(x, t)=\phi(x) T(t)$
求偏導大家應該都會（注意這裏$\psi$和$T$都是對應函數的簡寫）：
$\mathrm{i} \hbar \phi T^{\prime}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} T \phi^{\prime \prime}+V \phi T$
等式兩同時除以$\phi T$ 得：
$\mathrm{i} \hbar \frac{T^{\prime}}{T}=-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\phi^{\prime \prime}}{\phi}+V=E$ 這裏我們直接將除過的結果令爲E，分別求解；
$-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \frac{\phi^{\prime \prime}}{\phi}+V=E$
這時，方程兩邊再同乘$\phi$:
$-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \phi^{\prime \prime}+V \phi=E \phi$
還記得這個似曾相識的式子麼，沒錯！它就是我們之前也推過的定態薛定諤方程！

如果給定了邊界條件，那麼我們通常會得到這個方程的一組特解序列$\phi_{n}(x), n \in \mathbb{Z}$，而每個特解會對應一個常數值 $E_{n}$。

$-\frac{\hbar^{2}}{2 m} \phi_{n}^{\prime \prime}+V \phi_{n}=E_{n} \phi_{n}$

注意: 這裏得到的常數序列 $E_{n}$，就是粒子能量允許出現的取值，也就是能級!,再延伸一步，它就是對應我們量子力學中能測量出來的能量本徵值！

我的天，這麼神奇的麼？爲啥解出來的值就是能級啊！別急，一步一步來！

三. 山人自有妙計

我們之前就爲大家詳細的解釋過，經典力學的物理量到了量子力學這裏全部 被包含在 態矢量 中，而態矢量在座標表象中的表達方式就是波函數 $\psi=\psi(x,y,z,t)$，所以，不準確的來說，經典力學量的信息當然應該都包含在波函數當中。 注意，波函數的特點是“概率”，所以準確來說就是：經典力學量的信息都以概率形式被包含在波函數當中！

那麼問題就來了，它是如何包含這些物理量的呢？看兩個東西：

位置：一個粒子的波函數的模方 $\left | \psi(x,y,z,t) \right |^{2}$ ，表示 $t$ 時刻在$(x,y,z)$ 處找到這個粒子的概率密度

能量：剛剛我們學習的定態薛定方程，求解後得到特解序列 $\phi_{n}(x), n \in \mathbb{Z}$ 以及對應的能級序列 $E_{n}$，如果我們人爲規定薛定諤方程的初始條件 $\psi (x,0)$ , 將其用 $\phi _{n}(x)$的級數形式展開得到：
$\psi (x,0)=\sum_{n}c_{n}\phi _{n}$
而這裏的係數 $c_{n}$ 的模平方$\left |c_{n} \right |^{2}$就代表了能量的概率信息!

換句話說：對於一個初始狀態處於 $\psi (x,0)$ 的粒子，當我們去測量它的能量時，測得它處在能級 $E_{n}$上的概率爲 $\left |c_{n} \right |^{2}$

由此，我們就看到了波函數如何包含經典力學量的概率信息！

剛纔我們已經看到，分離變量後得到的定態薛定諤方程，本質上就是能量本徵方程的一個具體形式，它描述的是能量的哈密頓算符與能量本徵值、本徵態之間的關係！

我們可以用哈密頓算符將薛定諤方程寫成抽象形式：
$\mathrm{i} \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi=\hat{H} \psi$
從這個式子可以看出，它其實描述的是態矢量的時間演化規律與體系能量之間的關係，或者說得更通俗一點，描述的是量子態的動力學規律！

我們目前討論研究的是以一維薛定諤方程爲主，毫無疑問薛定諤方程遠不止這麼簡單，如果對這方面有興趣的小夥伴推薦你去b站上看一個小姐姐的視頻 ，她會詳細耐性且溫柔的把從波函數到薛定諤方程的所有理論內容都給你推了一遍 ，最最關鍵的是 ，這個小姐姐的聲音很好聽 (～￣▽￣)～ 戳這裏~~