4.3 債券估值

56 price, discount and arbitrage

56.1 定義discount factor，用折現公式計算PV，FV

discount factor：就是用來把一個FV給折現的factor，d(t), 代表年份

d(0.5), 把一個0.5年以後的FV折現的factor
一般題目會給出幾個bond的coupon，maturity，price，求discount factor

畫出bond的CF

根據CF以此算出d(t)

計算Coupon Bond T時刻的Forward Price

假設自己在0時刻short了一個bond，收入的price=S的現金，然後算這個這個現金在T點的 $FV_p=Se^{Rf_T*T}$
然後算在t1，t2，...時刻支付的coupon在T時刻的 $FV_{c1},FV_{c2},...$
最後forward price= $FV_p-FV_{c1}-FV_{c2}...$
見到Coupon Rate一定要除2，見到Coupon Rate一定要除2，見到Coupon Rate一定要除2

56.2 定義law of one price，用一個套利論證解釋它，描述如何應用到bond定價

“law of one price”，就是把一個bond的CF都按照discount factor給折現了，這樣所有的bond都可以在一個同等的條件比較價值了。

56.3 識別US treasury coupon bond的組成部分，對比STRIPS，包括P-STRIPS和C-STRIPS的區別

把treasury coupon bond拆分成zero-coupon bond來發行稱之爲STRIPS(Separate trading of registered interest and principle securities)，bond被拆解成了兩部分：

principle：P-STRIPS
coupon：C-STRIPS

STRIPS的優點：

zero-coupon更容易構建CF

zero-coupon對利率更敏感

STRIPS的缺點：

可能是非流動資產

長期C-STRIPS更便宜

短期C-STRIPS更貴

P-STRIPS按照fair-value交易

大型機構可以從中獲利

56.4 根據給定的fixed income security構建一個相同CF的portfolio

先畫出給定fixed income security的CF
把每個節點的CF當作結果，從最長的CF開始使用下面公式依次計算出需要買入bond的face amount( $F_x$ )
$CF_t=F_{bond1}*Coupon_{bond1}+F_{bond2}*Coupon_{bond2}+...$

56.5 根據fixed income的現金流識別套利機會

可以根據市場上bond的law of one price進行套利

如果low of one price 大於 price，說明bond便宜了，可以long

然後short sell 和上面bond現金流折現後相同的zero-coupon bond

56.6 clean和dirty的區別，解釋accrued interest的含義

Accrued Interest 就是在交割日那天部分的coupon

$AI=coupon*\frac{上一個coupon\ day到交割日的天數}{一個coupon週期的天數}$

56.7 描述在bond定價中的common day-count convention

US government bonds：actual／actual
US corporate bonds：30/360
US government agency：actual／360

57 Spot，forward and Par

57.1 計算和解釋不同付息週期對債券價值的影響

$FV_n=PV_0*[1+\frac{r}{m}]^{m*n}$
m: 每年支付coupon的次數
支付次數越多，FV越大

57.2 給出IR swap rate，計算discount factor

IR Swap可以看做是bonds，
IR Swap rate=coupon
IR Swap notional amount=par value
所以使用bond的計算方法就可以算出discount factor

57.3 給出discount factor計算spot rate

spot rate就是zero-coupon的收益率
z(t)= t年週期zero-coupon bond的年化收益率

一般是給出STRIPS來計算spot rate
根據SPTRIPS的PV，FV，N來算出每期（半年）收益率
然後spot rate = 每期收益率*2

57.4 解釋forward rate，根據spot rate計算forward rate

根據兩個不同週期的spot rate，來計算兩個週期之前的forward rate

6個月的forward rate：
f(0.5)=從0.5到1年的forward rate
f(1)=從1到1.5年的forward rate

57.5 定義par rate，並描述par rate等式

par rate = 假設bond當前價格如果是par的收益率(可以理解爲coupon rate)
$\frac{Par\ Rate}{2}*[d(0.5)+d(1)+d(1.5)+d(2.0)]+100*d(2.0)=100$

par rate等式: Par rate = Swap rate，可以使用swap rate curve作爲par rate curve

考題分析：

IR swap rate=Par rate，而spot rate略高於par rate，所以直接選B
如果計算，使用上面公式挨個計算discount factor

57.6 解釋spot，par 和 forward rate的關係

Forward rate > Spot rate > Par rate

3年的spot rate 近似於 3年內所有forward rate的平均值

假設一條upward-sloping spot rate curve，par rate很接近，但是小於spot rate。這個關係發生在spot rate curve is not flat

57.7 評估期限對於債券價格和債券收益的影響

對bond price的影響：

當coupon rate高於對應forward rate的時候，債券價格會隨着期限增加而上漲
當coupon rate小於對應forward rate的時候，債券價格會隨着期限增加而下跌

對bond return的影響：

當短期利率高於forward rate，投資短期的收益高
當短期利率低於forward rate，投資長期的收益高

57.8 定義利率曲線的 flattening 和 steepening，並描述當期望flatten和steepen時應該如何交易。

parallel shift：所有期限的rate都移動相同的amount
Twist shift（曲線斜率變的平緩還是陡峭）

steepening：短期和長期的利率差更大了，更陡峭
當investor期望steepen時，他期望長期利率會漲，長期債券價格會跌，所以要賣出長期債券，買入短期債券

flattening：短期和長期的利率差更小了，更平緩,
當investor期望flatten shift，操作和steepen相反

Butterfly shift （曲線更彎曲還是更直）
positive：曲線變成直線
negative：直線變成曲線

58 Return，spread and yield

58.1 區分gross and net realized return，計算考慮持有一個bond reinvest的realized return

Gross realized return= $\frac{BV_t+C_t-BV_0}{BV_0}$
Net realized return= gross realized return - $r_t$

$BV_0$ :PV
$BV_t$ :FV
$C_t$ : 當期收到的coupon
$r_t$ : 當期借錢的市場利率

reinvest就是把獲得的coupon再投資，然後根據CF計算得出realized return

58.2 定義和說明spread，並解釋一個spread是如何從債券價格和利率結構中衍生出來的

Spread：bond的市場價格和計算價格之間的difference反映在利率上就是spread, 本質就是bond收益率的偏差值

$market\ price=\frac{C}{1+f(1)+s}+\frac{C+P}{[1+f(1)+s]*[1+f(2)+s]}$

f(t): t年的forward rate
s: spread

58.3 定義，解釋和應用一個YTM來對債券定價

YTM 就是根據CF計算這個bond自己的年化收益率

58.4 根據債券結構和價格計算YTM

$Price = \frac{CF_1}{(1+YTM)^1}+\frac{CF_2}{(1+YTM)^2}+...$

58.5 計算annuity和perpetuity的價格

Annuity：是每年支付一個固定的payment，可以理解成只支付coupon的債券
所以根據PMT，N，YTM，就可以計算出PV了

Perpetuity：是一個永遠支付coupon的債券
PV = Coupon／yield

58.6 解釋spot rate和YTM的關係

基本考題：

使用spot rate來計算bond的PV
根據bond的PV反算YTM

58.7 定義coupon effect，解釋coupon rate，YTM和bond price之間的關係

coupon effect：如果兩個bond其他條件相同，coupon小的bond對interest rate更敏感

三者關係：

if coupon rate>YTM, bond will sell more than par, premium
if coupon rate<YTM, bond will sell less than par, discount
if coupon rate=YTM, bond will sell for par value

58.8 解釋對一個bond的P&L(profitability or loss)分解，解釋拆分的因子（carry roll down， rate change 和 spread change）影響

total price appreciation(增值) = (T1時刻bond的價格)-(T0時刻bond的價格)

一個例子：

T0時刻的價格= $\frac{1}{1+0.02+0.005}$ + $\frac{1}{(1+0.02+0.005)(1+0.03+0.005)}$ + $\frac{101}{(1+0.02+0.005)(1+0.03+0.005)(1+0.04+0.005)}$ =93.0229

Carry-roll-down：當利率期限結構從原始的T0時刻變動到T1，價格的改變

Carry roll down T1時刻的價格 = $\frac{1}{(1+0.03+0.005)}+\frac{101}{(1+0.03+0.005)(1+0.04+0.005)}$ =94.3485

rate change：當利率期限結構從T0時刻變動到T1，利率發生改變，價格的改變

rate change T1時刻的價格 = $\frac{1}{(1+0.02+0.005)}+\frac{101}{(1+0.02+0.005)(1+0.03+0.005)}$ =96.1800

spread change：當利率期限結構從T0時刻變動到T1，當bond的spread(bond價值和市場價格的差距反應在收益率上)發生改變時，價格的改變

spread change T1時刻的價格 = $\frac{1}{(1+0.03+0.01)}+\frac{101}{(1+0.04+0.01)(1+0.03+0.01)}$ =93.4515 (圖片中的結果把原始rate給改了)

58.9 識別carry roll-down scenario的假設，包括realized forward，unchanged term structure，unchanged yield

carry roll down的假設：利率不變

realized forwards scenario:

假設forward rate = 未來的spot rate，那麼收益就依賴於期限結構
1年spot是5%，2年spot是7%，
在realized forward scenario下，forward rate必須是9%(implied rate)
如果realized大於implied，那麼滾動投資短期將產生更高收益
如果realized小於implied，那麼直接投資長期將產生更高收益
所以投資策略依賴於投資者期望的rate和implied rate的差異
這個情景假設forward rate沒有risk premium

unchanged term structure scenario:

假設期限結構不改變，那麼gross realized return就依賴於coupon和forward之間的關係
這個情景隱含forward rate包含risk premuim

unchanged yield scenario:

假設bond收益率不改變，那麼coupon可以用來按照YTM再投資

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4.3 Security Valuation債券估值 4.3 債券估值