4.2 期權估值

53. Binomial Tree

53.1 用1步或者2步二叉樹方法計算美式／歐式期權價值

European Option可以使用二叉樹來計算，使用概率乘以期權期望的折現。

U=size of up move factor= $e^{\sigma\sqrt{t}}$
D=size of down move factor= $\frac{1}{U}$

risk-neutral probability 計算

$\pi_u=上漲的概率=\frac{e^{rt}-D}{U-D}$
$\pi_d=下跌的概率=1-\pi_u$

2步二叉樹example

call, S=20, $\sigma=$ 14%， $r_f$ =4%，K=20

計算U和D

U= $e^{0.14*\sqrt{1}}$ =1.15

D=1/U=0.87

計算漲跌概率

$\pi_u=\frac{e^{0.04*1}-0.87}{1.15-0.87}$ =0.61(上漲概率)

$\pi_u$ =1-0.61=0.39(下跌概率)

畫二叉樹

如果行權call的價值計算，並折現：

call=0.61 * 0.61 * (26.45-20) * $e^{-0.04*1}$ =2.21

用PS=CK計算P：

put=2.21+20 * $e^{-0.04*1}$ -20=0.67

comparable European Option**可以使用 put-call parity來計算：

P+S=C+K $e^{-rt}$

American option**

當intrinsic value大於第二步權期望收益的折現時，American option在第一步就會提前行權

計算注意：

折現的時候要注意如果中間價格可以行權那麼是兩個中間價格都要折現
分叉的時候注意時間，如果總期限是6個月，就要拆成兩個3個月
risk-neutral probability就是 $\pi_u$

53.2 描述在二叉樹中如何捕獲波動率

標準差越高，股票漲跌的離差(dispersion)就越高，因此在二叉樹裏評估each time period股票的價格時，就可以捕獲波動率。

53.3 描述用二叉樹計算的價值當時間增加的時候如何收斂converges

當每一個period被刻意拆解的很小時，二叉樹這種離散(discrete)時間週期，就會收斂(converges)成連續時間週期

53.4 解釋二叉樹如何用來計算，有紅利股票，股票指數，貨幣和期貨

stock pay dividend q

$\pi_u=上漲的概率=\frac{e^{(r-q)t}-D}{U-D}$
$\pi_d=下跌的概率=1-\pi_u$

stock indices 和有紅利股票計算類似
option on currencies

$\pi_u=上漲的概率=\frac{e^{(r_{本國}-r_{外國})t}-D}{U-D}$

futures 二叉樹包含了在期貨上的期權特徵，由於期貨幾乎不要成本，在risk-neutral設定下：

$\pi_u=上漲的概率=\frac{1-D}{U-D}$

54. The BSM Model

54.1 解釋股票價格的lognormal屬性，收益率的分佈，並計算期望收益

BSM模型假設：

長期的股票價格是lognormal分佈

股票的收益是normal分佈

mean= $[\mu-\frac{\sigma^2}{2}]$

standard deviation= $\frac{\sigma}{\sqrt{T}}$

calculate expected return:

expected value of $S_T$ = $S_0e^{\mu T}$

expected annul return = $\mu$

54.2 計算股票的實現收益和歷史波動率

使用幾何收益（geometric return）計算 realized return

一個portfolio的資產收益是 5%，-4%，9%，6%
realized return= $(1.05+0.96+1.09+1.06)^{1/4}-1$

54.3 描述BSM模型的假設

標的資產價格服從lognormal
risk free rate是constant
標的資產的波動率是constant
市場是frictionless(無摩擦的)
標的資產沒有現金流（dividend和coupon）
期權是歐式期權

54.4 使用BSM計算無分紅的歐式期權

call option公式：

$c=SN(d_1)-Xe^{-r_fT}N(d_2)$

$N(d_2)$ =股價高於X的概率，行call權概率

$N(d_1)$ =如果Long期貨獲得收益的加概率折算因子

$S*N(d_1)$ =到期時賣出1股的加概率PV

$Xe^{-r_fT}N(d_2)$ =到期時按照X價格買入1股的加概率PV

put option公式：

$p=Xe^{-r_fT}(1-N(d_2))-S(1-N(d_1))$
$1-N(d_2)$ =股價低於X的概率，行put權概率
$(1-N(d_1))$ =如果short期貨獲得收益的加概率折算因子
$X*e^{-r_fT}*(1-N(d_2))$ =到期時按照X價格賣出1股的加概率PV
$S*(1-N(d_1))$ =到期時買入1股的加概率PV

計算 $d_1$ 和 $d_2$

$ln(S_T) 服從分佈正態 N[ln(S_0)+(\mu-\frac{\sigma^2}{2})T,\sigma \sqrt{T}]$

$d_2=\frac{ln(\frac{S}{X})+(r_f-\frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma \sqrt{T}}$
所以 $d_2$ 就是使用股票價格lognormal分佈公式來求股票價格從S到X的Z值，假設 $\mu$ 是 $r_f$

$d_1=d_2+\sigma \sqrt{T}$

會使用 $d_1$ 和 $d_2$ 查表找 $N(d_1)$ 和 $N(d_2)$

增加stock的CF會增加call的price，降低put的price

54.5 計算權證warrant的價值，識別使用權證估值的複雜性

warrant是一個權利可以讓債券持有者按照簽訂的價格購買股票
warrant可以用separate call option的估值方法來定價

value of each warrant= $\frac{N}{N+M}*call$
N=number of share outstanding
M=number of new warrant

54.6 定義隱含波動率，描述如何用BSM計算隱含波動率

股票的歷史波動率不一定代表當前市場波動率，所以使用BSM公式和參數：

股票價格，
執行價格，
無風險利率，
到期時間
期權價格
來計算implied volatility

54.7 解釋分紅如何影響美式期權的行權的

因爲dividend會降低不行權價值，所以支付dividend可能導致美式call option提前行權：

option接近到期
larger dividend

行權條件： $D>X(1-e^{-r(T-t_n)})$

54.8 使用BSM計算有分紅的歐式期權

把BSM公式中的S替換成 $Se^{-qT}$

55. Geek Letters

55.1 描述和評估裸(naked)期權和保護(covered)的期權的風險指標

naked position：賣call沒有持有標的資產，如果資產上漲，損失會很大
covered position：賣call有持有標的資產，如果資產上漲，損失較小，但是資產下跌損失多

兩個positions都不是hedged postion

55.2 如何對naked and covered option生成一個止損策略

stop-loss strategy objective：

持有 naked position，when out-of-the-money
持有 covered position, when in-the-money

55.3 描述對期權，遠期，期貨進行delta hedging

delta: stock價格變動1單位，衍生品價格變動多少，期限越短delta變化越劇烈

$delta=\Delta=\frac{\delta c}{\delta s}$

補充考點：dividend會導致股價下跌，而in the money的delta高於out of the money，所以in the money的option對dividend的敏感度更高。

option delta hedge:

call option delta: 0到1，S漲， $\Delta$ 漲
put option delta: -1到0，S漲， $\Delta$ 漲
對沖short call position= 買入 [Delta * (賣出call數量)]數量的stock(delta-neutral hedge)

forward delta hedge:

forward delta = 1
1單位forward用1單位stock offsetting（抵消）

futures delta hedge:

futures delta = $e^{rT}$
1單位future用 $e^{rT}$ 單位stock offsetting

55.4 計算一個option的delta

可以使用BSM公式裏面的 $N(d_1)$ 來計算option的delta

根據S,X, $r_f$ , $\sigma$ ,T 計算出 $d_1$

查表得到 $N(d_1)$ ，就是option的delta

55.5 描述delta hedging的dynamic aspect，區分dynamic hedging 和 hedge-and-forget hedging

當delta發生改變的時候，這時候portfolio不再被hedge, 所以要不斷調整來構建一個delta-neutral position，這就是dynamic hedge

delta-neutral position特點：

是複雜的(sophisticate)對沖方法，要做到當security改變時，portfolio的變化最小

只對asset的小變化有效，如果asset變化大時需要rebalance（由於實際關係時曲線而不是直線）

Dynamic hedge: adjusting the hedge on a frequently basis. 根據基差變化不斷調整hedge
hedge-and-forget hedge：static hedge，hedge is initially set-up but never adjusted. 設定好了就不再調整

55.6 定義一個portfolio的delta

$portfolio delta = \sum w_i*\Delta_i$

55.7 定義和描述 theta，gamma，vega and rho

Theta, $\theta$ ,減少1個單位到期時間，option price減少多少，“time decay”

theta對call和put效果相同，隨着時間流逝（到期時間縮短），option價值減少（因爲時間越長，不確定性越多，option價值越高）

theta在at the money時最明顯（pronounced），每減少一單位到期時間，option價值減少最多（因爲stock變化概率低，所以option減少價值多）

European in the money put option可能會有正theta（因爲時間減少市場擔心股票價格會跌，所以put option價值會增加）

期限越長的option，theta影響越小