4.3 债券估值

56 price, discount and arbitrage

56.1 定义discount factor，用折现公式计算PV，FV

discount factor：就是用来把一个FV给折现的factor，d(t), 代表年份

d(0.5), 把一个0.5年以后的FV折现的factor
一般题目会给出几个bond的coupon，maturity，price，求discount factor

画出bond的CF

根据CF以此算出d(t)

计算Coupon Bond T时刻的Forward Price

假设自己在0时刻short了一个bond，收入的price=S的现金，然后算这个这个现金在T点的 $FV_p=Se^{Rf_T*T}$
然后算在t1，t2，...时刻支付的coupon在T时刻的 $FV_{c1},FV_{c2},...$
最后forward price= $FV_p-FV_{c1}-FV_{c2}...$
见到Coupon Rate一定要除2，见到Coupon Rate一定要除2，见到Coupon Rate一定要除2

56.2 定义law of one price，用一个套利论证解释它，描述如何应用到bond定价

“law of one price”，就是把一个bond的CF都按照discount factor给折现了，这样所有的bond都可以在一个同等的条件比较价值了。

56.3 识别US treasury coupon bond的组成部分，对比STRIPS，包括P-STRIPS和C-STRIPS的区别

把treasury coupon bond拆分成zero-coupon bond来发行称之为STRIPS(Separate trading of registered interest and principle securities)，bond被拆解成了两部分：

principle：P-STRIPS
coupon：C-STRIPS

STRIPS的优点：

zero-coupon更容易构建CF

zero-coupon对利率更敏感

STRIPS的缺点：

可能是非流动资产

长期C-STRIPS更便宜

短期C-STRIPS更贵

P-STRIPS按照fair-value交易

大型机构可以从中获利

56.4 根据给定的fixed income security构建一个相同CF的portfolio

先画出给定fixed income security的CF
把每个节点的CF当作结果，从最长的CF开始使用下面公式依次计算出需要买入bond的face amount( $F_x$ )
$CF_t=F_{bond1}*Coupon_{bond1}+F_{bond2}*Coupon_{bond2}+...$

56.5 根据fixed income的现金流识别套利机会

可以根据市场上bond的law of one price进行套利

如果low of one price 大于 price，说明bond便宜了，可以long

然后short sell 和上面bond现金流折现后相同的zero-coupon bond

56.6 clean和dirty的区别，解释accrued interest的含义

Accrued Interest 就是在交割日那天部分的coupon

$AI=coupon*\frac{上一个coupon\ day到交割日的天数}{一个coupon周期的天数}$

56.7 描述在bond定价中的common day-count convention

US government bonds：actual／actual
US corporate bonds：30/360
US government agency：actual／360

57 Spot，forward and Par

57.1 计算和解释不同付息周期对债券价值的影响

$FV_n=PV_0*[1+\frac{r}{m}]^{m*n}$
m: 每年支付coupon的次数
支付次数越多，FV越大

57.2 给出IR swap rate，计算discount factor

IR Swap可以看做是bonds，
IR Swap rate=coupon
IR Swap notional amount=par value
所以使用bond的计算方法就可以算出discount factor

57.3 给出discount factor计算spot rate

spot rate就是zero-coupon的收益率
z(t)= t年周期zero-coupon bond的年化收益率

一般是给出STRIPS来计算spot rate
根据SPTRIPS的PV，FV，N来算出每期（半年）收益率
然后spot rate = 每期收益率*2

57.4 解释forward rate，根据spot rate计算forward rate

根据两个不同周期的spot rate，来计算两个周期之前的forward rate

6个月的forward rate：
f(0.5)=从0.5到1年的forward rate
f(1)=从1到1.5年的forward rate

57.5 定义par rate，并描述par rate等式

par rate = 假设bond当前价格如果是par的收益率(可以理解为coupon rate)
$\frac{Par\ Rate}{2}*[d(0.5)+d(1)+d(1.5)+d(2.0)]+100*d(2.0)=100$

par rate等式: Par rate = Swap rate，可以使用swap rate curve作为par rate curve

考题分析：

IR swap rate=Par rate，而spot rate略高于par rate，所以直接选B
如果计算，使用上面公式挨个计算discount factor

57.6 解释spot，par 和 forward rate的关系

Forward rate > Spot rate > Par rate

3年的spot rate 近似于 3年内所有forward rate的平均值

假设一条upward-sloping spot rate curve，par rate很接近，但是小于spot rate。这个关系发生在spot rate curve is not flat

57.7 评估期限对于债券价格和债券收益的影响

对bond price的影响：

当coupon rate高于对应forward rate的时候，债券价格会随着期限增加而上涨
当coupon rate小于对应forward rate的时候，债券价格会随着期限增加而下跌

对bond return的影响：

当短期利率高于forward rate，投资短期的收益高
当短期利率低于forward rate，投资长期的收益高

57.8 定义利率曲线的 flattening 和 steepening，并描述当期望flatten和steepen时应该如何交易。

parallel shift：所有期限的rate都移动相同的amount
Twist shift（曲线斜率变的平缓还是陡峭）

steepening：短期和长期的利率差更大了，更陡峭
当investor期望steepen时，他期望长期利率会涨，长期债券价格会跌，所以要卖出长期债券，买入短期债券

flattening：短期和长期的利率差更小了，更平缓,
当investor期望flatten shift，操作和steepen相反

Butterfly shift （曲线更弯曲还是更直）
positive：曲线变成直线
negative：直线变成曲线

58 Return，spread and yield

58.1 区分gross and net realized return，计算考虑持有一个bond reinvest的realized return

Gross realized return= $\frac{BV_t+C_t-BV_0}{BV_0}$
Net realized return= gross realized return - $r_t$

$BV_0$ :PV
$BV_t$ :FV
$C_t$ : 当期收到的coupon
$r_t$ : 当期借钱的市场利率

reinvest就是把获得的coupon再投资，然后根据CF计算得出realized return

58.2 定义和说明spread，并解释一个spread是如何从债券价格和利率结构中衍生出来的

Spread：bond的市场价格和计算价格之间的difference反映在利率上就是spread, 本质就是bond收益率的偏差值

$market\ price=\frac{C}{1+f(1)+s}+\frac{C+P}{[1+f(1)+s]*[1+f(2)+s]}$

f(t): t年的forward rate
s: spread

58.3 定义，解释和应用一个YTM来对债券定价

YTM 就是根据CF计算这个bond自己的年化收益率

58.4 根据债券结构和价格计算YTM

$Price = \frac{CF_1}{(1+YTM)^1}+\frac{CF_2}{(1+YTM)^2}+...$

58.5 计算annuity和perpetuity的价格

Annuity：是每年支付一个固定的payment，可以理解成只支付coupon的债券
所以根据PMT，N，YTM，就可以计算出PV了

Perpetuity：是一个永远支付coupon的债券
PV = Coupon／yield

58.6 解释spot rate和YTM的关系

基本考题：

使用spot rate来计算bond的PV
根据bond的PV反算YTM

58.7 定义coupon effect，解释coupon rate，YTM和bond price之间的关系

coupon effect：如果两个bond其他条件相同，coupon小的bond对interest rate更敏感

三者关系：

if coupon rate>YTM, bond will sell more than par, premium
if coupon rate<YTM, bond will sell less than par, discount
if coupon rate=YTM, bond will sell for par value

58.8 解释对一个bond的P&L(profitability or loss)分解，解释拆分的因子（carry roll down， rate change 和 spread change）影响

total price appreciation(增值) = (T1时刻bond的价格)-(T0时刻bond的价格)

一个例子：

T0时刻的价格= $\frac{1}{1+0.02+0.005}$ + $\frac{1}{(1+0.02+0.005)(1+0.03+0.005)}$ + $\frac{101}{(1+0.02+0.005)(1+0.03+0.005)(1+0.04+0.005)}$ =93.0229

Carry-roll-down：当利率期限结构从原始的T0时刻变动到T1，价格的改变

Carry roll down T1时刻的价格 = $\frac{1}{(1+0.03+0.005)}+\frac{101}{(1+0.03+0.005)(1+0.04+0.005)}$ =94.3485

rate change：当利率期限结构从T0时刻变动到T1，利率发生改变，价格的改变

rate change T1时刻的价格 = $\frac{1}{(1+0.02+0.005)}+\frac{101}{(1+0.02+0.005)(1+0.03+0.005)}$ =96.1800

spread change：当利率期限结构从T0时刻变动到T1，当bond的spread(bond价值和市场价格的差距反应在收益率上)发生改变时，价格的改变

spread change T1时刻的价格 = $\frac{1}{(1+0.03+0.01)}+\frac{101}{(1+0.04+0.01)(1+0.03+0.01)}$ =93.4515 (图片中的结果把原始rate给改了)

58.9 识别carry roll-down scenario的假设，包括realized forward，unchanged term structure，unchanged yield

carry roll down的假设：利率不变

realized forwards scenario:

假设forward rate = 未来的spot rate，那么收益就依赖于期限结构
1年spot是5%，2年spot是7%，
在realized forward scenario下，forward rate必须是9%(implied rate)
如果realized大于implied，那么滚动投资短期将产生更高收益
如果realized小于implied，那么直接投资长期将产生更高收益
所以投资策略依赖于投资者期望的rate和implied rate的差异
这个情景假设forward rate没有risk premium

unchanged term structure scenario:

假设期限结构不改变，那么gross realized return就依赖于coupon和forward之间的关系
这个情景隐含forward rate包含risk premuim

unchanged yield scenario:

假设bond收益率不改变，那么coupon可以用来按照YTM再投资

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4.3 Security Valuation债券估值 4.3 债券估值