中点画圆法详解

中点画圆法

一、算法原理

利用圆的对称性，只须讨论1/8圆，即下图第二个8分圆区域：

1. 假设$P(x,y)$为当前像素，下一个像素可能是正右方$P_1(x+1,y)$或右下方$P_2(x+1,y-1)$，如上图所示。
2. 设$M$为$P_1$、$P_2$间的中点，即$M$的座标为$(x+1,y-0.5)$。若$M$在圆内，则$P_1$靠近圆弧，应该取为下一像素，否则应取$P_2$。

二、公式推导

1. $构造函数：$F(x,y)=x^2 + y ^2 - R^2$ ,则有：
   $F（x,y）= 0 （x,y）在圆上\\ F（x,y）< 0 （x,y）在圆内\\ F（x,y）> 0 （x,y）在圆外$
2. 带入$M$座标，有如下结论：
   $F（M）< 0$ M在圆内，取$P_1$
   $F（M）\geq 0$ M在圆外，取$P_2$
   为此，可采用如下判别式：
   $\begin{aligned} d &= F(M) \\ &= F(x + 1, y - 0.5)\\ &= (x + 1)^2 + (y - 0.5) ^2 - R^2 \end{aligned}$
3. 若$d<0$，则$P_1$ 为下一个像素，那么再下一个像素的判别式为：
   $\begin{aligned} d_1 &= F(x + 2, y - 0.5)\\ &= (x + 2)^2 + (y - 0.5) ^2 - R^2\\ &= d + 2x +3 \end{aligned}$
   即，$d$的增量为$2x +3$
4. 若$d \geq 0$，则$P_2$ 为下一个像素，那么再下一个像素的判别式为：
   $\begin{aligned} d_2 &= F(x + 2, y - 1.5)\\ &= (x + 2)^2 + (y - 1.5) ^2 - R^2\\ &= d + (2x +3) +(-2y+2)\\ &=d+2(x-y)+5 \end{aligned}$
   即，$d$的增量为$2(x-y)+5$
5. d的初值
   $\begin{aligned} d_0 &= F(1, R-0.5)\\ &= 1 + (R-0.5)^2 - R^2\\ &= 1.25 - R \end{aligned}$

三、改进优化

为了摆脱$d_0$的浮点数运算，使整个算法全部使用整数运算，用$e_0=d_0-0.25$，则有$x_0=0,y_0=R,d_0=1-R$。那么，中点画圆算法的递推公式如下：($i=0,1,2,\cdots$，直至$x>y$为止)
$\begin{aligned} d &<0,d_{i+1}=d_i+2x_i+3,x_{i+1}=x_i+1\\ d &\geq0,d_{i+1}=d_i+2(x_i-y_i)+5,x_{i+1}=x_i +1,y_{i+1}=y_i-1 \end{aligned}$