P1073 最優貿易 題解

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簡要題意：

給定一個圖，每個點有點權。一個人從 $1$ 號點出發，可以任意走路徑，也可以任意停止旅行。每個點的點權表示水晶球的價格，初始這個人沒有水晶球，可以在任意點賣出，也可以在任意點買。只能買賣一次。當然也可以不賣。求他的最大盈利。（賺不了則輸出 $0$）

本題是 $\text{NOIP 2009}$ 提高組 第三題.

算法一

對於 $10 \%$ 的數據，$1 \leq n \leq 6$.

爆搜即可，隨你什麼姿勢都可以過。

時間複雜度：$O(\text{wys})$.

實際得分：$10pts$.

算法二

對於 $30 \%$ 的數據，$1 \leq n \leq 100$.

顯然，我們可以對每個節點 $x$ 遍歷一遍，考慮從 $x$ 買進，何處的賣出價格最高。考慮統計一遍即可。

時間複雜度：$O(n^2)$.

實際得分：$30pts$.

算法三

對於 $50 \%$ 的數據，不存在環。

不存在環？這很簡單啊。

對於 每條路徑，統計出該條路徑的最小值與最大值，作差即可。

你可以選擇記錄路徑。可是不需要，你可以在搜索的時候記錄。

時間複雜度：$O(n)$.

實際得分：$50pts$.

算法四

對於 $100 \%$ 的數據，$1 \leq n \leq 10^5$.

顯然，算法三已經非常接近正解。

從 $1$ 遍歷，對當前節點 $x$，記錄之前路徑的最小值並考慮在當前賣出的答案，然後更新最小值即可！

時間複雜度：$O(n)$.

實際得分：$100pts$.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1e5+1;

inline int read() {int f=1; char ch=getchar(); while(!isdigit(ch)) {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
	int x=0; while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar(); return x*f;}

vector<int> G[N];
int n,m,f[N],g[N],a[N];

inline void dfs(int x,int val,int pre) {
	bool fl=1; val=min(a[x],val);
	if(g[x]>val) g[x]=val,fl=0;
	int coin=max(f[pre],a[x]-val);
	if(f[x]<coin) f[x]=coin,fl=0;
	if(fl) return;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++) dfs(G[x][i],val,x);
}

int main() {
	n=read(),m=read();
	memset(g,0x3f,sizeof(g));
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	while(m--) {
		int x=read(),y=read(),z=read();
		G[x].push_back(y);
		if(z==2) G[y].push_back(x);
	} dfs(1,1e9,0);
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}