CodeForces - 1260F Colored Tree（樹鏈剖分 + 組合計數 + 樹狀數組）

題意

給你一棵n個節點的樹，每個節點都有一個顏色。這棵樹的權值定義爲，任意兩個相同顏色的點之間的路徑長度之和。但是，這棵樹的每個點的顏色是不確定的，你只知道節點$i$的顏色屬於某一個區間$[l_i,r_i]$，於是這棵樹總共就有$\prod_{1\le i \le n}(r_i-l_i+1)$種可能。你需要求這麼多種可能情況下的樹的權值和。

做法

考慮枚舉每一種顏色$c$，然後考慮維護顏色爲$c$的點，由於每個點的顏色是一個區間，所以很容易維護。

考慮計算兩個顏色相同點$i$和$j$的貢獻$w=dis(i,j)*\prod_{k=1,k\ne i,k\ne j}^{n}(r_k-l_k+1)$，我們不妨設：
$P=\prod_{i=1}^{n}(r_i-l_i+1),\ \ g_i=r_i-l_i+1$
於是，有
$\begin{aligned} w&=dis(i,j)*\frac{P}{g_i*g_j}\\ &=(dep[i]+dep[j]-2*dep[lca])*\frac{P}{g_i*g_j} \end{aligned}$
我們考慮所有的點，對於一個顏色$c$，如果點$i$顏色也爲$c$那麼，$V[i]=1$否則$V[i]=0$，那麼最後的答案可以等於
$\begin{aligned} ans&=P*\sum_{i<j,V[i],V[j]}^{n}(\frac{dep[i]}{g_i*g_j}+\frac{dep[j]}{g_i*g_j}-2*\frac{dep[lca]}{g_i*g_j})\\ &=P*(\sum_{i,V[i]}^{n}\frac{dep[i]}{g_i}\sum_{j,V[j],i\ne j}^{n}\frac{1}{g_j}-2*\sum_{i<j,V[i],V[j]}^{n}\frac{dep[lca]}{g_i*g_j}) \end{aligned}$
對於前面那個東西，我們可以很容易的求出來，現在考慮如果求減號後面的東西。我們考慮把後面的東西拆成$\frac{dep[lca]}{g_i}*\frac{1}{g_j}$。

對於一個新加入的點$j$，我們先考慮它和之前加入的所有點的$lca$，我們用$\frac{1}{g_j}$乘上除了1以外從1到$x$的所有點的權值和$sum$。根據上面拆成的公式，$sum$應該等於$\frac{dep[lca]}{g_i}$的和。然後，我們再對從1到$j$的所有點都加上$\frac{1}{g_j}{g_j}$。現在我們再回頭看，$sum$的數值恰好是我們想要的。

於是，我們只需要樹鏈剖分一下，動態維護區間和即可。

#include<bits/stdc++.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define eps 1e-5
#define pi 3.141592653589793
#define LL long long
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define lb lower_bound
#define ub upper_bound
#define bug(x) cerr<<#x<<"      :   "<<x<<endl
#define sc(x) scanf("%d",&x)
#define scc(x,y) scanf("%d%d",&x,&y)
#define sccc(x,y,z) scanf("%d%d%d",&x,&y,&z)
using namespace std;

const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 100010;

struct EX_BIT                                   //支持區間修改、區間查詢的樹狀數組
{
    struct binaryIndexTree
    {
        int c[N];
        void init(){memset(c,0,sizeof(c));}
        void update(int x,int k){for(;x<N;c[x]=(c[x]+k)%mod,x+=x&-x);}
        int sum(int x){int ans=0;for(;x>0;ans=(ans+c[x])%mod,x-=x&-x);return ans;}
    } BIT1,BIT2;

    void init(){BIT1.init();BIT2.init();}
    int getsum(int l,int r){return (sum(r)-sum(l-1)+mod)%mod;}
    void update(int l,int r,int x){add(l,x);add(r+1,(mod-x)%mod);}
    int sum(int x){return ((LL)(x+1)*BIT1.sum(x)%mod-BIT2.sum(x)+mod)%mod;}
    void add(int x,int k){BIT1.update(x,k);BIT2.update(x,(LL)x*k%mod);}
} BIT;

inline LL qpow(LL x,LL n)
{
    LL res=1;
    while(n)
    {
        if (n&1) res=res*x%mod;
        x=x*x%mod; n>>=1;
    }
    return res;
}

int id[N],top[N],son[N],sz[N],fa[N],dep[N],inv[N];
std::vector<int> l[N],r[N],g[N];
int idx,n,m;

inline void dfs1(int x,int d,int f)
{
    son[x]=0; dep[x]=d; sz[x]=1;
    for(int y:g[x])
        if (y!=f)
        {
            fa[y]=x;
            dfs1(y,d+1,x);
            sz[x]+=sz[y];
            if (sz[y]>sz[son[x]]) son[x]=y;
        }
}

inline void dfs2(int x,int f)
{
    top[x]=f; id[x]=++idx;
    if (son[x]) dfs2(son[x],f);
    for(auto y:g[x])
        if (y!=son[x]&&y!=fa[x]) dfs2(y,y);
}

inline int query(int u,int v)
{
    int tp1=top[u],tp2=top[v];
    int res=(mod-BIT.getsum(1,1))%mod;
    while (tp1!=tp2)
    {
        if (dep[tp1]<dep[tp2]){swap(tp1,tp2);swap(u,v);}
        res=(res+BIT.getsum(id[tp1],id[u]))%mod;
        u=fa[tp1]; tp1=top[u];
    }
    if (dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    return (res+BIT.getsum(id[u],id[v]))%mod;
}

inline void change(int u,int v,int x)
{
    int tp1=top[u],tp2=top[v];
    while (tp1!=tp2)
    {
        if (dep[tp1]<dep[tp2]){swap(tp1,tp2);swap(u,v);}
        BIT.update(id[tp1],id[u],x);
        u=fa[tp1]; tp1=top[u];
    }
    if (dep[u]>dep[v]) swap(u,v);
    BIT.update(id[u],id[v],x);
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
    int P=1;
    sc(n); int mx=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x,y; scc(x,y);
        l[x].pb(i); r[y+1].pb(i);
        mx=max(mx,y);  inv[i]=qpow(y-x+1,mod-2);
        P=(LL)P*(y-x+1)%mod;
    }
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        int x,y; scc(x,y);
        g[x].pb(y); g[y].pb(x);
    }
    dfs1(1,0,0);
    dfs2(1,1);
    LL ans=0,s1=0,s2=0,s3=0,s4=0;
    for(int i=1;i<=mx;i++)
    {
        for(int x:r[i])
        {
            s1=(s1-(LL)dep[x]*inv[x]%mod+mod)%mod;
            s2=(s2-inv[x]+mod)%mod;
            s3=(s3-(LL)dep[x]*inv[x]%mod*inv[x]%mod+mod)%mod;
            change(1,x,mod-inv[x]);
            s4=(s4-(LL)inv[x]*query(1,x)%mod+mod)%mod;
        }
        for(int x:l[i])
        {
            s1=(s1+(LL)dep[x]*inv[x]%mod)%mod;
            s2=(s2+inv[x])%mod;
            s3=(s3+(LL)dep[x]*inv[x]%mod*inv[x]%mod)%mod;
            s4=(s4+(LL)inv[x]*query(1,x)%mod)%mod;
            change(1,x,inv[x]);
        }
        ans=(ans+s1*s2%mod-s3-2*s4)%mod;
        ans=(ans+mod)%mod;
    }
    printf("%lld\n",ans*P%mod);
    return 0;
}