算法导论有趣题——4-2,6-3

4-2：

题目描述：

某数组A[1,2,...n]含有所有从0到n的证书，但其中一个整数不在数组中。通过辅助数组B[0,...n]来记录A中出现的整数

（1）在O（n）时间找到缺失整数

（2）若数组中每个数值是二进制的，不能直接对每个数取出其数值，则如何找到缺失

解答：
（1）遍历数组A，将每个出现的值存储在B中下标对应值，之后遍历一次B即可

eg:

for val in A:
    B[val] = 1

for i in range(len(B)):
    if B[i] == 0:
        return i

（2）使用异或操作来处理。1^0 = 0,1^1 = 0,0^0 = 0,既：两个相等的数异或结果为0，而0与任何数异或得该数本身。因此，将A中的值与0~n异或，得到的结果就是缺失的整数。

6-3：

题目描述：Young 氏矩阵：从左到右递增，从上到下递增。

（1）插入一个新元素的算法及复杂度

（2）对n*n个数使用young氏矩阵排序的复杂度为O（n^3）

（3）在m*n矩阵中找到一个给定数，复杂度O（m + n）

解答：

（1）在矩阵右下角插入新元素。若新元素大于上方与前方的元素，则插入成功。否则， 将新元素往小的方向比较交换过去。最坏情况的复杂度为：走到了左上角O（n+m）

void insert(vec,i,j)
{
    //此处仅提供参考思想，不具体涉及边缘控制
    curr = vec[i][j];
    left = vec[i][j-1];
    up = vec[i-1][j];
    if(curr >= left && curr >= up)
        return;  //找到合适位置
    else if(curr < left)
        insert(v,i,j-1)
    else
        insert(v,i-1,j)
}

（2）对 n * n 个元素使用Young矩阵，每个元素插入该矩阵的复杂度是O（n+n）,则，总的复杂度为O（2n*n*n） = O(n^3)。对一个Y矩阵，左上角为最小值，最左一列递增，最顶一行递增，则使用合并排序中的摸牌式合并方法，O（m+n）的复杂度就可以排序好第一列与第一行。同样的方法。遍历整个矩阵一次，就可以完成排序

（3） 从左下角起寻找元素。若当前值小于需要值，则往右；若当前值大于需要值，则往上。复杂度为O（m + n）