組合數學作業整理與解題思路總結：圖論

組合數學作業整理與解題思路總結: 圖論

1. 求證: 任一棵樹均爲一個二部圖.

[證明]

(法1)
下面使用數學歸納法進行證明:
設 $T$ 爲樹, $|E(T)| = 1.$ $X,Y \subset V(T), X\cap Y = \empty$.

將 $T$ 的唯一一條邊的兩個頂點分別歸於 $X,Y$ , $T$ 顯然是一個二部圖.

設 $|E(T)| \leqslant k-1$ 時結論仍然成立:

$|E(T)| = k$ 時: 設 $x$ 爲某一個度數爲 $1$ 的頂點. 可知: $|E(T-x) = k-1|$. 由歸納假設知: $T-x$ 是一個二部圖.

將 $x$ 歸於與其鄰接的頂點所屬的不同的頂點集中, $T$ 依然滿足稱爲二部圖的條件, 證畢. $\blacksquare$

(法2)
沿用法1記號和規定. 我們採取以下的方法對 $T$ 中的點進行歸類:

將起始點歸入 $X$ 中, 向下遍歷每一條邊, 總是將邊的兩個頂點歸於不同的集合中. 這樣, 即得到了滿足二部圖判別條件的兩個頂點子集. 若不然, 則總可找到一個圈, 這和 “樹” 的定義矛盾. $\blacksquare$

2. 分別畫出兩個邊數最大的完全二部圖 $K_6.K_7$.

[解]

設完全二部圖的頂點集被分類爲: $\{X,Y\}$.

由完全二部圖定義可立即確定最大邊數:

$E_M = \max\{m(l-m)\}: m \in \mathbb{N^+}, m<l$.

計算得出: $E_M(K_6) = 9, E_M(K_7) = 12$.

並且可對應繪出圖: 其中 $|X| = m, |Y| = l-m$.

3. 設 $G$ 爲連通圖. 設 $C$ 爲 $G$ 的一個子圈, $e$ 爲 $C$ 的一條邊. 求證: $G-e$ 仍爲連通圖.

[證明]

設 $e$ 和 $u,v$ 關聯. 對於 $G$ 中的每一條路, 它們或經過 $e$, 或不經過 $e$.

對於所有原來不經過 $e$ 的路: 從 $G$ 中刪去 $e$ 後它們的連通性顯然不變.

對於所有原來需經過 $e$ 的路: 由圈的結構知: 刪去 $e$ 後的環在連通性上和 $e$ 等價. 故它們的連通性也不受影響.

綜上: $G-e$ 仍爲一個連通圖. $\blacksquare$

4. 當且僅當 $G$ 的每一個分支均爲二部圖時, $G$ 爲一個二部圖.

[證明]

引理: 二部圖的子圖均爲二部圖.

“$\Leftarrow$”

因二部圖 $G$ 的分支爲 $G$ 的子圖, 由引理: 顯見其分支均爲二部圖.

“$\Rightarrow$”

設 $G_1$ 爲 $G$ 的其中一個分支, 它是二部圖. 設 $G\backslash G_1 = V_1+ G'_1$, $G'_1$ 爲所有 $G\backslash G_1$ 中孤立的連通圖所組成的集合.

由定義知: $G'_1$ 中每一個元素均爲 $G$ 的分支, $V_1$ 爲孤立點集.

由假設知: $G$ 所有的分支均爲二部圖, 且它們不是連通的.

設
$V(G_1) = X_1\cap Y_1, G'_1 = \{G'_1, G'_2, \cdots,G'_k\}, V(G'_i) = X'_i \cap Y_i,~~~ i= 1,2,\cdots, k.$
取
$X = X_1\cap (\bigcap_{i = 1,2,\cdots,k}X_i), ~~~ Y = Y_1\cap V_1 \cap (\bigcap_{i = 1,2,\cdots,k}Y_i)$
且
$X\cup Y = V(G).$
故找到了這樣的頂點子集 $X, Y$, 使得 $E(G)$ 中任一條邊的兩個頂點分別位於 $X, Y$ 中. 由定義知: $G$ 爲一個二部圖. $\blacksquare$

5. 設 $G$ 爲一個 $n$ 個頂點的 $l$ 部圖, 求證: $|E(G)| \leqslant |E(T_{(l,n)})|$.

6. 設 $G$ 爲一個 $n$ 個頂點, 不含 $C_4$ 爲子圖的圖. 求證:

i. $\sum_{x \in V(G)}\binom{d(x)}{2}\leqslant \binom{n}{2}$.

ii.$|E(G)| \leqslant \frac{n}{4}(1 + \sqrt{4n-3})$.

[證明]

1. 設 $G'$ 爲 $n$ 個頂點的完全 $l$ 部圖. 由定義知: $|E(G)| \leqslant |E(G')|$.

   不妨設 $G' = K_{n_1n_2\cdots n_l}$, $T_{(l,n)}{} = K_{m_1m_2\cdots m_l}$ 由完全 $l$ 部圖定義:
   $|E(G')| = \sum_{j=1}^{l-1}\prod_{i=j}^{l}n_i.$
   因
   $n_1 + n_2 + \cdots + n_l = m_1 + m_2 + \cdots + m_l = n$
   $\sum_{j=1}^{l-1}\prod_{i=j}^{l}n_i. \leqslant \frac{q^2(1-q^{l-1})}{1-q}, q = \frac{n}{l}$
   $m_1,m_2,\cdots ,m_l$ 之間相差越小, 原式結果越大.

   故由平衡完全r部圖定義: $|E(G)| \leqslant |E(T_{(l,n)})|$.

2. 
   i.

   $\binom{d(x)}{2}$ 表示對任意頂點 $x$, 經過 $x$ 所構成的, 連接 $x$ 的任兩個與 $x$ 鄰接的頂點的, 長爲 $2$ 的路的條數, $\sum_{x \in V(G)}\binom{d(x)}{2}$ 對 $G$ 中所有的這樣的長爲 $2$ 的路進行了計數.

   而長爲 $4$ 的圈 $C_4$ 由兩條長爲 $2$ 的路組成. 因此, 對於 $G$ 中的任兩個點, 最多有且僅有一條長爲 $2$ 的路, 否則會出現 $C_4$, 與原假設矛盾.

   在最極端的情況下, $G$ 中任意兩個頂點之間恰好存在一條長爲 $2$ 的路. 此時其長度爲 $\binom n2$, 這是滿足條件的 $G$ 中長爲 $2$ 的路的最大條數.

   故有不等式:
   $\sum_{x \in V(G)}\binom{d(x)}{2}\leqslant \binom{n}{2}$
   成立. $\blacksquare$

   
   

   ii.

   由 i :
   $\sum_{x \in V(G)}\binom{d(x)}{2}\leqslant \binom{n}{2}.$
   即:
   $\sum_{x\in V(G)}d(x) \cdot (d(x)-1) = \sum_{x\in V(G)}d^2(x) - \sum_{x \in V(G)}d(x) \leqslant n(n-1)$
   由 Cauchy-Schwarz 不等式:
   $\sum_{x\in V(G)}d^2(x)\geqslant \frac{1}{n}{\sum_{x\in V(G)}}^2d(x)$
   由握手引理:
   $\sum_{x\in V(G)}d(x) = 2|E(G)|$
   故
   $\frac{1}{n}4|E(G)|^2 - 2|E(G)|\leqslant n^2-n$
   $(|E(G)|-\frac{1}{4}n)^2 \leqslant n^2\cdot \frac{4n-3}{16}$
   $|E(G)| \leqslant \frac{1}{4}n + \frac{n\cdot \sqrt{4n-3}}{4}$
   即
   $|E(G)| \leqslant \frac{n}{4}(1 + \sqrt{4n-3}).$
   $\blacksquare$

7. 設 $G$ 爲有 $n$ 個頂點的圖, $G^C$ 爲 $G$ 的補圖. 求證: $\chi(G)\cdot \chi(G^C) \geqslant n$.

[證明]

記 $G$ 的團 $H$ 在 $G^C$ 中所對應的圖爲 $H^C$. 由定義可知: 對任意的 $H$, $H^C$ 均爲 $G^C$ 的穩定集. 且可知: $\omega(G) = \alpha(G^C).$

故由圖的色數不等式得: $\chi(G) \cdot \chi(G^C) \geqslant max\{\omega(G), \frac{|V(G)|}{\alpha(G)}\}\cdot max\{\omega(G^C), \frac{|V(G^C)|}{\alpha(G^C)}\} = n.$

8. 設 $G$ 爲一個圖, $G_1, G_2$ 爲它的兩個誘導子圖, 使得:
$V(G_1)\cup V(G_2) = V(G), E(G_1)\cup E(G_2) = E(G),\\ |V(G_1) \cap V(G_2)| = 1.$
求證: $\chi(G) = max\{\chi(G_1), \chi(G_2)\}$.

[證明]

不妨設
$\chi(G_1) > \chi(G_2), V(G_1)\cap V(G_2) = \{x\}$

對於 $G$:
$\chi({G_1\backslash \{x\}}) \geqslant \chi(G_1)-1;$

由於
$\chi({G_2\backslash \{x\} \cup \{x\}}) = \chi(G_2) \leqslant \chi(G_1)$

故一定可以用 $\chi(G_1)$ 種顏色將 $G_1, G_2$ 染色. 即:
$\chi(G) \leqslant max\{\chi(G_1), \chi(G_2)\}.$

由命題 5-1.2知:
$\chi(G) \geqslant max\{\chi(G_1), \chi(G_2)\}.$

故
$\chi(G) = max\{\chi(G_1), \chi(G_2)\}.$

9. 設 $G$ 爲一個色數爲 $k$ 的圖, $\phi$ 爲 $G$ 的一個 $k$-染色. 求證: 對任意 $i = 1,2,\cdots, k$, $\phi^{-1}(i)$ 有一個頂點, 它在 $\phi^{-1}(j)$ 中有鄰居. ($i \neq j$)

[證明]

設對任意 $i = 1,2,\cdots ,k$, $\phi^{-1}(i)$ 的任何一個頂點不全和上了其他顏色的頂點鄰接. 故在$\phi^{-1}(i)$ 的所有點, 總可以在 $k-1$ 種其餘顏色中, 總可以找到一個和 $i$ 不同的顏色, 將其上色. 故 $\chi(G) = k-1$, 和條件矛盾. 因此原結論成立. $\blacksquare$

10. 設 $G$ 爲一個圖, $M$ 爲一個匹配, $P$ 爲 $G$ 的一個非平凡 $M$-可擴路. 求證:
$(M\cup E(P))\backslash (M\cap E(P))$
仍然爲一個匹配, 但它比 $M$ 多一條邊.

[證明]

由於 $P$ 爲 $G$ 的一條非平凡 $M$-可擴路, 其路長必爲奇數. 不妨假設 $|E(P)| = 2k + 1$. 其中, 有 $k$ 條路屬於 $M$, $k+1$ 條路屬於 $E(G)\backslash M$.

由 $M$-可擴路的定義知:
$|(M\cup E(P))\backslash (M\cap E(P))| = |M| + k + 1 - k = |M + 1|.$
下證其仍然爲一個匹配:
不妨假設在 $(M\cup E(P))\backslash (M\cap E(P))$ 中存在一對相互鄰接的邊, 顯見它們一定不全屬於 $M$.

若其中有一條屬於 $M$, 另外一條屬於 $E(P)\backslash (M\cup E(P))$ 或兩條邊均屬於 $E(P)\backslash (M\cup E(P))$, 由 $M$-可擴路定義知: 這樣的兩條邊不存在.

故由定義知: 在 $(M\cup E(P))\backslash (M\cap E(P))$ 中找不到一對相互鄰接的邊, 它仍是一個匹配. $\blacksquare$

11. 設 $G$ 爲二部圖. 求證: $G$ 存在一個包含每一個具有最大度數的頂點的匹配.

[證明]

不妨設 $M$ 爲一個包含了最多最大度頂點的匹配, 設 $X, Y$ 爲 $G$ 的分割集. 假設 $u\in v(G)$ 爲其中一個最大度頂點, 但並不被匹配 $M$ 包含. 不失一般性, 設 $u\in X$. 設 $\bar{u}$ 爲一個包含了所有在一條 $M$-可擴路中的頂點, 令 $S = \bar{U}\cap X, T = \bar{U}\cap Y$.
首先, 每一個 $S$ 中的頂點度數均爲 $\Delta(G)$. 否則, 設 $x\in S, d_{G}(x)<k$, 令 $P$ 爲一條從 $u$ 到 $x$ 的 $M-$可擴路. 則 $M\Delta E(p)$ 爲一個新的最大匹配, 但它相比 $M$ 多包含了一個最大度點, 這和 $M$ 的最大性矛盾.
其次, $|S| = |T| + 1, \bigcup_{x\in S}N_{G}(x) = T$, 因爲 $M$ 爲一個最大匹配.
現在有: $|S\cdot k = \sum_{x\in S}d_{G}(x)\leqslant \sum_{y\in T}d_{G}(y)\leqslant |T|\cdot k = (|S|-1)k$, 矛盾.

12. 設 $G$ 爲二部圖, $k = \Delta(G)$. 假設 $k>0$. 求證: $G$ 有一個大小至少爲 $\frac{|E(G)|}{k}$ 的匹配.

[證明]

先證明一個引理:

[引理] 設二部圖 $G$, 記 $k = \Delta(G)$. 則總能找到 $k$ 個匹配, 使得它們的並等於 $G$ 的邊集 $E(G)$.

[引理證明]

對 $k$ 使用數學歸納法:

$k = 1$ 時: 顯然結論成立.

$k = n-1$: 假設原結論仍然成立. 下面考察 $k = n$ 的情況:

因爲在最大度數爲 $n$ 的圖 $G$ 中, 將屬於 $M$ 中的邊刪去, 即得到一個子圖 $G_1$, 且 $\Delta(G_1) = n-1$, 故由歸納假設和問題 $1$ 結論知: $G_1$ 中存在 $n-1$ 個匹配, 它們的並即爲 $E(G_1)$. 顯然, $E(G) = E(G_1)\cup M$. 故原結論對任意正整數 $k\geqslant 1$ 成立. 即: 引理成立.

回到問題上來: 由鴿籠原理, 若這 $k$ 個匹配的大小均小於 $\frac{E(G)}{k}$, 則其並集的大小必小於 $E(G)$, 矛盾. 故至少存在一個匹配, 其大小大於等於 $\frac{E(G)}{k}$, 證畢. $\blacksquare$

13. 設 $G$ 爲一個分割集爲 $X,Y$ 的二部圖.
設 $t = \min_{x\in X}d_{G}(x), s = \max_{y\in Y}d_{G}(y)$. 求證: 若 $t\geqslant s$, 則 $G$ 存在一個包含 $X$ 中全部頂點的匹配.

[證明]

由 $d_{G}(X), d_{G}(Y) \geqslant 1$:

故 $X$ 中的每一個頂點至少和 $Y$ 中的一個頂點連接.

由 $t \geqslant s$: $|X| > |Y|$. 根據鴿籠原理:

因此必存在一個單射 $\psi$, 將 $X$ 中的每一個不同頂點唯一地映到 $Y$ 中的某個頂點.

14. 設整數 $n \geqslant 2$. 對每一個 $i \in [n]$, $S_{i} = [n]\backslash \{i\}$. 求證: $\{S_i;i\in [n]\}$ 存在一個相異代表系.

[證明]

由 $S_i$ 的結構知: $\{S_i; i\in [n]\}$ 中每一個元素 $S_i$, 均滿足 $|S_i| = n-1$, 且 $S_i \cup S_j = [n], ~ ~if ~ ~ i\neq j$.

故對 $t \in [n]$: $\{S_i; i\in [n]\}$ 中任何 $t$ 個集合的並集均包含至少 $t$ 個元素.
故知: $\{S_i; i\in [n]\}$ 存在一個相異代表系. $\blacksquare$