附錄2
直流電機PWM調速系統中控制電壓非線性研究
引言
由於線性放大驅動方式效率和散熱問題嚴重，目前絕大多數直流電動機採用開關驅動方式。開關驅動方式是半導體功率器件工作在開關狀態，通過脈寬調製PWM控制電動機電樞電壓，實現調速。目前已有許多文獻介紹直流電機調速，宋衛國等用89C51單片機實現了直流電機閉環調速；張立勳等用AVR單片機實現了直流電機PWM調速；郭崇軍等用C8051實現了無刷直流電機控制；張紅娟等用PIC單片機實現了直流電機PWM調速；王晨陽等用DSP實現了無刷直流電機控制。上述文獻對實現調速的硬件電路和軟件流程的設計有較詳細的描述，但沒有說明具體的調壓調速方法，也沒有提及佔空比與電機端電壓平均值之間的關係。在李維軍等基於單片機用軟件實現直流電機PWM調速系統中提到平均速度與佔空比並不是嚴格的線性關係，在一般的應用中，可以將其近似地看作線性關係。但沒有做深入的研究。本文通過實驗驗證，在不帶電機情況下，PWM波佔空比與控制輸出端電壓平均值之間呈線性關係；在帶電機情況下，佔空比與電機端電壓平均值滿足拋物線方程，能取得精確的控制。本文的電機閉環調速是運用Matlab擬合的關係式通過PID控制算法實現。
1 系統硬件設計
本系統是基於TX-1C實驗板上的AT89C52單片機，調速系統的硬件原理圖如圖1所示，主要由AT89C52單片機、555振盪電路、L298驅動電路、光電隔離、霍爾元件測速電路、MAX 232電平轉換電路等組成。
圖1 閉環控制系統示意圖
2 系統軟件設計
系統採用模塊化設計，軟件由1個主程序，3箇中斷子程序，即外部中斷0、外部中斷1，定時器0子程序，PID算法子程序，測速子程序及發送數據到串口顯示子程序組成，主程序流程圖如圖2所示。外部中斷0通過比較直流電平與鋸齒波信號產生PWM波，外部中斷1用於對傳感器的脈衝計數。定時器0用於對計數脈衝定時。測得的轉速通過串口發送到上位機顯示，通過PID模塊調整轉速到設定值。本實驗採用M／T法測速，它是同時測量檢測時間和在此檢測時間內霍爾傳感器所產生的轉速脈衝信號的個數來確定轉速。由外部中斷1對霍爾傳感器脈衝計數，同時起動定時器0，當計數個數到預定值2 000後，關定時器0，可得到計2 000個脈衝的計數時間，由式計算出轉速：
n=60f／K=60N／(KT) (1)
式中：n爲直流電機的轉速；K爲霍爾傳感器轉盤上磁鋼數；f爲脈衝頻率；N爲脈衝個數；T爲採樣週期。
圖2 主程序流程圖
3 實驗結果及原因分析
3．1 端電壓平均值與轉速關係
3．1．1 實驗結果
實驗用的是永磁穩速直流電機，型號是EG-530YD-2BH，額定轉速2 000～4 000 r／min，額定電壓12 V。電機在空載的情況下，測得的數據用Matlab做一次線性擬合，擬合的端電壓平均值與轉速關係曲線如圖3(a)所示。相關係數R-square：0．952 1。擬合曲線方程爲：
y=0．001 852x+0．296 3 (2)
由式(2)可知，端電壓平均值與轉速可近似爲線性關係，根椐此關係式，在已測得的轉速的情況下可以計算出當前電壓。爲了比較分析，同樣用Matlab做二次線性擬合，擬合的端電壓平均值與轉速關係曲線如圖3(b)所示。相關係數R-square：0．986 7。
圖3 端電壓平均值與轉速關係曲線圖
3．1．2 原因分析
比較圖3(a)可知，當轉速在0～1 500 r／min和4 000～5 000 r／min，端電壓平均值與轉速間存在的非線性，用二次曲擬合如圖3(b)所示，擬合相關係數較高。由圖3(a)可見，當電機轉速爲0時電機兩端電壓平均值約爲1．3 V。這是因爲電機處於靜止狀態時，摩擦力爲靜摩擦力，靜摩擦力是非線性的。隨着外力的增加而增加，最大值發生在運動前的瞬間。電磁轉矩爲負載制動轉矩和空載制動轉矩之和，由於本系統不帶負載，因此電磁轉矩爲空載制動轉矩。空載制動轉矩與轉速之間此時是非線性的。電磁轉矩與電流成正比，電流又與電壓成正比，因此此時電壓與轉速之間是非線性的。
當轉速在2 000～4 000 r／min線性關係較好，佔空比的微小改變帶來的轉速改變較大，因此具有較好的調速性能。這是因爲隨着運動速度的增加，摩擦力成線性的增加，此時的摩擦力爲粘性摩擦力。粘性摩擦是線性的，與速度成正比，空載制動轉矩與速度成正比，也即電磁轉矩與電流成正比，電流又與電壓成正比，因此此時電壓與轉速之間是線性的。當轉速大於4 000 r／min。由於超出了額定轉速所以線性度較差且調速性能較差。此時用二次曲線擬合結果較好，因爲當電機高速旋轉時，摩擦阻力小到可以忽略，此時主要受電機風阻型負荷的影響，當運動部件在氣體或液體中運動時，其受到的摩擦阻力或摩擦阻力矩被稱爲風機型負荷。對同一物體，風阻係數一般爲固定值。阻力大小與速度的平方成正比。即空載制動轉矩與速度的平方成正比，也即電磁轉矩與速度的平方成正比，電磁轉矩與電流成正比，電流又與電壓成正比，因此此時電壓與轉速之間是非線性的。
3．2 佔空比與端電壓平均值關係
3．2．1 實驗結果
擬合佔空比與端電壓平均值關係曲線如圖4所示。相關係數R-square：0．998 4。擬合曲線方程爲：
圖4 佔空比與端電壓平均值關係曲線圖
如圖4所示，佔空比與端電壓平均值滿足拋物線方程。運用積分分離的PID算法改變電機端電壓平均值，可以運用此關係式改變佔空比，從而實現了PWM調速。
用示波器分別測出電壓的頂端值Utop與底端值Ubase，端電壓平均值Uarg滿足關係式：
其中：α爲佔空比。
正是由於所測得的電機端電壓底端值Ubase不爲0，所以得出的佔空比與端電壓平均值之間關係曲線爲拋物線。若將電機取下，直接測L298的out1與out2輸出電壓。所測得的電機端電壓底端值Ubase約爲0，所得的佔空比與端電壓平均值滿足線性關係，即令式(4)中Ubase爲0，式(4)變爲：
3．2．2 原因分析
將電機取下後，直接測L298的輸出端之間的電壓，佔空比與端電壓平均值滿足關係式(5)，說明整個硬件電路的設計以及軟件編程的正確性。從電機反電勢角度分析，當直流電機旋轉時，電樞導體切割氣隙磁場，在電樞繞組中產生感應電動勢。由於感應電動勢方向與電流的方向相反，感應電動勢也即反電勢。直流電機的等效模型如圖5所示。圖5(a)表示電機工作在電動機狀態。圖5(b)表示電機工作在發電機狀態。
圖5 直流電機等效電路
如圖5(a)所示，電壓平衡方程爲：
式中：U爲外加電壓；Ia爲電樞電流；Ra爲電樞繞組電阻；2△Ub爲一對電刷接觸壓降，一般取2△Ub爲0．5～2 V；Ea爲電樞繞組內的感應電動勢。電機空載時，電樞電流可忽略不計，即電流Ia爲0。空載時的磁場由主磁極的勵磁磁動勢單獨作用產生。給電機外加12 V的額定電壓，由(6)可得反電勢：
以40％的佔空比爲例，電機端電壓Uab是測量中的電壓平均值Uarg，其值爲8．34 V，測量中的電壓底端值Ubase約爲7 V。由式(7)可得Ea的值範圍應在6．34～7．84 V。由圖5(b)可見，此時Uab的值是測得的底端值Ubase即電機的電動勢Ea爲7 V。
當PWM工作在低電平狀態，直流電機不會立刻停止，會繼續旋轉，電樞繞組切割氣隙磁場，電機此時工作在發電機狀態，產生感應電動勢E。
式中：Ce爲電機電動勢常數；φ爲每級磁通量。由於電機空載，所以圖5(b)中無法形成迴路。用單片機仿真軟件Proteus可直觀的看出在PWM爲低電平狀態，電機處於減速狀態。低電平持續時間越長，電機減速量越大。正是由於在低電平期間，電機處於減速狀態，由式(8)可知，Ce，φ均爲不變量，轉速n的變化引起E的改變。此時Uab的值等於E的值。電機在低電平期間不斷的減速，由於PWM週期較短，本文中取20 ms，電機在低電平期間轉速還未減至0，PWM又變爲高電平了。這樣，就使測得的Ubase值不爲0。以40％的佔空比爲例，當PWM工作在低電平狀態，測得Ubase的值約爲7 V。由式(8)可知，當正佔空比越大，轉速也就越大，同時減速時間越短，感應電勢E的值越大。所以Ubase的值也就越大。
4 結語
重點分析了直流電機PWM調速過程中控制電壓的非線性，對非線性的影響因素做了詳細的分析。由於PWM在低電平期間電壓的底端值不爲0，導致了佔空比與電機端電壓平均值之間呈拋物線關係。因此，可用得出的拋物線關係式實現精確調速。本系統的非線性研究可爲電機控制中非線性的進一步研究提供依據，在實際運用中，可用於移動機器人、飛行模擬機的精確控制。