劍指offer——約瑟夫環問題

前幾天華爲機試做到類似題，當時並不知道，用數組強行模擬然後掛掉

看來還是要多讀書，閉門造車是不行的！

用鏈表或者數組模擬是不行的！得用公式求解：

f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

這個公式咋來的，我看到另一篇很好的博客，直接拿來了：https://blog.csdn.net/u011500062/article/details/72855826

約瑟夫環是一個經典的數學問題，我們不難發現這樣的依次報數，似乎有規律可循。爲了方便導出遞推式，我們重新定義一下題目。
問題： N個人編號爲1，2，……，N，依次報數，每報到M時，殺掉那個人，求最後勝利者的編號。

這邊我們先把結論拋出了。之後帶領大家一步一步的理解這個公式是什麼來的。
遞推公式：
f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

f(N,M)表示，N個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號f(N−1,M)表示，N-1個人報數，每報到M時殺掉那個人，最終勝利者的編號。

下面我們不用字母表示每一個人，而用數字
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11
表示11個人，他們先排成一排，假設每報到3的人被殺掉。

•     剛開始時，頭一個人編號是1，從他開始報數，第一輪被殺掉的是編號3的人。
•     編號4的人從1開始重新報數，這時候我們可以認爲編號4這個人是隊伍的頭。第二輪被殺掉的是編號6的人。
•     編號7的人開始重新報數，這時候我們可以認爲編號7這個人是隊伍的頭。第三輪被殺掉的是編號9的人。
•     ……
•     第九輪時，編號2的人開始重新報數，這時候我們可以認爲編號2這個人是隊伍的頭。這輪被殺掉的是編號8的人。
•     下一個人還是編號爲2的人，他從1開始報數，不幸的是他在這輪被殺掉了。
•     最後的勝利者是編號爲7的人。

下圖表示這一過程（先忽視綠色的一行）

現在再來看我們遞推公式是怎麼得到的！
將上面表格的每一行看成數組，這個公式描述的是：倖存者在這一輪的下標位置

• f(1,3)：只有1個人了，那個人就是獲勝者，他的下標位置是0
• f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1
• f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2個人的時候，勝利者的下標位置爲1
• f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1
• f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3個人的時候，勝利者的下標位置爲1
• f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0
• f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4個人的時候，勝利者的下標位置爲0
• ……
• f(11,3)=6

很神奇吧！現在你還懷疑這個公式的正確性嗎？上面這個例子驗證了這個遞推公式的確可以計算出勝利者的下標，下面將講解怎麼推導這個公式。
問題1：假設我們已經知道11個人時，勝利者的下標位置爲6。那下一輪10個人時，勝利者的下標位置爲多少？
答：其實吧，第一輪刪掉編號爲3的人後，之後的人都往前面移動了3位，勝利這也往前移動了3位，所以他的下標位置由6變成3。

問題2：假設我們已經知道10個人時，勝利者的下標位置爲3。那下一輪11個人時，勝利者的下標位置爲多少？
答：這可以看錯是上一個問題的逆過程，大家都往後移動3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3。不過有可能數組會越界，所以最後模上當前人數的個數，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11

問題3：現在改爲人數改爲N，報到M時，把那個人殺掉，那麼數組是怎麼移動的？
答：每殺掉一個人，下一個人成爲頭，相當於把數組向前移動M位。若已知N-1個人時，勝利者的下標位置位f(N−1,M)
f(N−1,M)，則N個人的時候，就是往後移動M爲，(因爲有可能數組越界，超過的部分會被接到頭上，所以還要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%n

注：理解這個遞推式的核心在於關注勝利者的下標位置是怎麼變的。每殺掉一個人，其實就是把這個數組向前移動了M位。然後逆過來，就可以得到這個遞推式。

class Solution {
public:
    int lastRemaining(int n, int m) {
        int last = 0;//如果是隻有一個人的情況,那麼下標爲0
        for(int i=2;i<=n;i++)
            last = (last+m)%i;//i代表人數,自底向上模擬
        return last;   
    }
};