LeetCode-287: Find the Duplicate Number（尋找重複數字——弗洛伊德循環尋找算法）

Given an array nums containing n + 1 integers where each integer is between 1 and n (inclusive), prove that at least one duplicate number must exist. Assume that there is only one duplicate number, find the duplicate one.

Example 1:

Input: [1,3,4,2,2]
Output: 2

Example 2:

Input: [3,1,3,4,2]
Output: 3

Note:

1. You must not modify the array (assume the array is read only).
2. You must use only constant, O(1) extra space.
3. Your runtime complexity should be less than O(n²).
4. There is only one duplicate number in the array, but it could be repeated more than once.

思路

包含有n+1個不大於n的正整數的數組一定存在重複元素，本題要求從這樣的數組中找出重複的那個元素。題目很簡單，有很多方法可做，但是難在要求空間複雜度O(1)，時間複雜度小於O(n²），並且源數組是隻讀的，不允許任何修改操作。這樣就限制了諸如Hash表，排序等的解法。最優解法是採用弗洛伊德循環尋找算法，原理如下：

1. 需要明確一點：n+1個不大於n的正整數組成的數組可看做一個鏈表：
   • A[0]=1 >>>> A[1]=3 >>>> A[3]=2 >>>> A[2]=4 >>>> A[4]=2

i	0	1	2	3	4
A[i]	1	3	4	2	2

如果這樣的數組中出現重複元素，那麼這個鏈表就會出現一個環

• A[0]=1 >>>> A[1]=3 >>>> A[3]=2 >>>> A[2]=4 >>>> A[4]=2

2. 弗洛伊德循環尋找算法就是查找這個環入口的算法，過程爲：
   （1）算法採用了一個慢指針和一個快指針，慢指針每次移動1步，快指針每次移動2步，初始兩個指針都指向0，由於路徑中存在環，兩個指針最終肯定會匯合。第一次匯合時，我們將快指針重置爲0，並將移動步數從2修改爲1，等到兩個指針再次匯合時，指向的元素即爲環入口。
   （2）原理推導：如下圖，P段表示鏈表中的非環部分，C表示慢指針與快指針第一次匯合時在環中重合的部分，L表是整個環的長度，X表示L-C部分；
   
   （3）則當快指針與慢指針第一次匯合時，慢指針走過的路徑長度爲P+C，快指針走過的路徑長度爲L+C+nL（n爲整數，由於快指針速度快，因此快指針一定是比慢指針多跑了n圈）；然後由於快指針的速度是慢指針速度的2倍，而他們經過的時間是相同的，因此路程有如下關係：
   $P + C + nL = 2 (P + C) => P = (n - 1) * L + L - C = (n - 1) L + X$
   因此可得出結論：“P段的長度”等於“X段的長度+整數圈環的長度”，故此時只需要讓快指針重置爲0（即回到P段的開始）並使速度與慢指針相同，則他們一定會在環路入口的位置再次匯合。

Java實現

class Solution {
    public int findDuplicate(int[] nums) {
        int slow = 0;
        int fast = 0;
        do {
            slow = nums[slow];
            fast = nums[nums[fast]];
        }while (slow != fast);

        fast = 0;

        while (slow != fast) {
            slow = nums[slow];
            fast = nums[fast];
        }
        return slow;
    }
}

Python實現

class Solution(object):
    def findDuplicate(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        slow = fast = 0
        while True:
            slow = nums[slow]
            fast = nums[nums[fast]]
            if slow == fast:
                break
        
        fast = 0

        while slow != fast:
            slow = nums[slow]
            fast = nums[fast]

        return fast

Scala實現

object Solution {
    def findDuplicate(nums: Array[Int]): Int = {
        var slow = 0
        var fast = 0
        do {
            slow = nums(slow)
            fast = nums(nums(fast))
        } while (slow != fast)

        fast = 0

        while (slow != fast) {
            slow = nums(slow)
            fast = nums(fast)
        }

        return fast
    }
}