Comet OJ - Contest #8 E.神奇函数（欧拉函数性质）

题目描述

BB

其实是一道sb题
10¹³+10组数据足以把
杜教筛/min25/洲阁筛/反演+筛μ/分块+筛质数
给送上天了
所以正解肯定是T√n的做法

性质

欧拉函数有一个著名的性质：
$n=\sum_{d|n}{\varphi(d)}$
证明：
设$F(n)=\sum_{d|n}{\varphi(d)}$，则
$F(n)*F(m)=\sum_{i|n}{\varphi(i)}*\sum_{j|m}{\varphi(j)}$（nm互质）
$=\sum_{i|n}{\sum_{j|m}{\varphi(i*j)}}$
$=F(n*m)$
所以证得F(n)是积性函数
求$F(p^k)$（p为质数）
$F(p^k)=\sum_{i=0}^{k}{\varphi(p^i)}$
$=(\sum_{i=1}^{k}{p^i*(1-\frac{1}{p})})+1$
$=(\sum_{i=1}^{k}{p^{i-1}*(p-1)})+1$
$=(\sum_{i=1}^{k}{p^i-p^{i-1}})+1$
$=p^k-p^0+1$
$=p^k$
由于F(n)是积性函数，且F(p^k)=p^k，所以可以推得F(n)=n（对于任意n）
所以
$F(n)=\sum_{d|n}{\varphi(d)}$
$n=\sum_{d|n}{\varphi(d)}$
参考：https://blog.csdn.net/liuzibujian/article/details/81086324

题解

题目的$f(n)=\prod{{a_i}^{\left \lfloor \frac{p_i}{2} \right \rfloor}}$
可以发现，每个质因子的质数除了2
那么
$f(n)=\sum_{d|f(n)}{\varphi(d)}$
本质上，枚举d其实是枚举n中指数为1的倍数的约数
由于先前除了2，考虑把d和f(n)的指数都乘以2，这样得到的实际上是一样的
所以
$f(n)=\sum_{d^2|n}{\varphi(d)}$
$ans=\sum_{i=1}^{n}{f(i)}=\sum_{i=1}^{n}{\sum_{d^2|i}{\varphi(d)}}$
$=\sum_{d=1}^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{\sum_{d^2|i \; and \; i\leqslant n}{\varphi(d)}}$
$=\sum_{d=1}^{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor}{\varphi(d)*\left \lfloor \frac{n}{d^2} \right \rfloor}$
没了

code

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define fo(a,b,c) for (a=b; a<=c; a++)
#define fd(a,b,c) for (a=b; a>=c; a--)
#define Len 3162277
using namespace std;

bool f[Len+1];
int p[Len+1];
int phi[Len+1];
int T,N,i,j,k,l,len;
long long n,ans;

void init()
{
	int i,j;
	
	memset(f,0,sizeof(f));
	len=0;
	
	phi[1]=1;
	fo(i,2,Len)
	{
		if (!f[i])
		{
			p[++len]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		
		fo(j,1,len)
		if ((long long)i*p[j]<=Len)
		{
			f[i*p[j]]=1;
			phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
			
			if (!(i%p[j]))
			break;
			
			phi[i*p[j]]=phi[i*p[j]]/p[j]*(p[j]-1);
		}
		else
		break;
	}
}

int main()
{
//	freopen("e.in","r",stdin);
	
	init();
	
	scanf("%d",&T);
	for (;T;--T)
	{
		scanf("%lld",&n);
		N=floor(sqrt(n));
		
		ans=0;
		fo(i,1,N)
		ans+=phi[i]*(n/i/i);
		
		printf("%lld\n",ans);
	}
}