DFT、DTFT、DFS、FFT、FT、FS之間的關係
FT和FS是研究連續信號的，在數字信號處理中不涉及。
主要是前四種的關係：
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DFT（Discrete Fourier Transform）：離散傅里葉變換
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DTFT（Discrete-time Fourier Transform）：離散時間傅里葉變換
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DFS（Discrete Fourier Series）：離散傅里葉級數
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FFT（Fast Fourier Transform）：快速傅里葉變換
首先來說圖（1）和圖（2），對於一個模擬信號，如圖(1)所示，要分析它的頻率成分，必須變換到頻域，這是通過傅立葉變換即FT(Fourier Transform)得到的，於是有了模擬信號的頻譜，如圖(2)；注意1：時域和頻域都是連續的！
但是，計算機只能處理數字信號，首先需要將原模擬信號在時域離散化，即在時域對其進行採樣，採樣脈衝序列如圖(3)所示，該採樣序列的頻譜如圖(4)，可見它的頻譜也是一系列的脈衝。所謂時域採樣，就是在時域對信號進行相乘，(1)×(3)後可以得到離散時間信號x[n]，如圖(5)所示；由前面的性質1，時域的相乘相當於頻域的卷積，那麼，圖(2)與圖(4)進行卷積，根據前面的性質2知，**會在各個脈衝點處出現鏡像，於是得到圖(6)，它就是圖(5)所示離散時間信號x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即離散時間傅立葉變換，這裏強調的是“離散時間”四個字。**注意2：此時時域是離散的，而頻域依然是連續的。
經過上面兩個步驟，我們得到的信號依然不能被計算機處理，因爲頻域既連續，又週期。我們自然就想到，既然時域可以採樣，爲什麼頻域不能採樣呢？這樣不就時域與頻域都離散化了嗎？沒錯，接下來對頻域在進行採樣，頻域採樣信號的頻譜如圖(8)所示，它的時域波形如圖(7)。現在我們進行頻域採樣，即頻域相乘，圖(6)×圖(8)得到圖(10)，那麼根據性質1，這次是頻域相乘，時域卷積了吧，圖(5)和圖(7)卷積得到圖(9)，不出所料的，鏡像會呈週期性出現在各個脈衝點處。我們取圖（10）週期序列的主值區間，並記爲X(k)，它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即離散傅立葉變換。可見，DFT只是爲了計算機處理方便，在頻率域對DTFT進行的採樣並截取主值而已。有人可能疑惑，對圖(10)進行IDFT，回到時域即圖(9)，它與原離散信號圖(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的週期性延拓！沒錯，因此你去查找一個IDFT的定義式，是不是對n的取值區間進行限制了呢？這一限制的含義就是，取該週期延拓序列的主值區間，即可還原x[n]！
FFT呢？FFT的提出完全是爲了快速計算DFT而已，它的本質就是DFT！我們常用的信號處理軟件MATLAB或者DSP軟件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。
DFS,是針對時域週期信號提出的，如果對圖(9）所示週期延拓信號進行DFS，就會得到圖(10)，只要截取其主值區間，則與DFT是完全的一一對應的精確關係。這點對照DFS和DFT的定義式也可以輕易的看出。因此DFS與DFT的本質是一樣的，只不過描述的方法不同而已。
我理解的就是：
DTFT（離散時間傅里葉變換，強調的是離散時間，只保證時域是離散的）得到對時域連續信號的離散化採樣後的頻譜函數，這個採樣後時域的信號是離散的（採樣序列是離散的），但是由於採樣信號在頻域的週期性，而且根據時域相乘、頻域卷積的原則，原信號的頻譜（是連續的）會搬移在採樣信號的每一個脈衝點，這樣一來，DTFT得到的頻譜函數就是連續且週期的！DTFT就是對時域的採樣！
但是，連續且週期的頻譜信號不能夠被計算機所處理，所以要就要對頻域信號進行採樣了（DFT）！
與時域採樣相同，頻域採樣也是一系列的週期序列信號相乘，這樣，頻域的信號就是離散的了，但此時頻域信號仍然是週期的。一旦對頻域進行採樣後（頻域相乘、時域卷積），時域又和週期脈衝信號卷積了，結果就是DTFT求出的時域離散信號被搬移到每一個脈衝所在處了，但這樣就實現了時域和頻域的離散化！DFT就是對DTFT後的頻域信號再進行一次離散化採樣，得到了離散週期的時域、頻域信號！（DFT會對得到的週期性頻譜截取主值）
此時，時域是離散的，但是有周期性，計算機不好處理！
通過DFS截取時域離散週期信號的主值！
DTDF是數學家的傑作、DFT是工程師的傑作！離散化有助於計算機分析！
綜上所述，要將模擬信號轉化爲可以計算機處理的離散信號，經過一下幾步：
1.DTFT對時域離散化採樣
2.DFT對頻域離散化採樣（順便截取頻域週期信號主值）
3.DFS截取時域週期信號主值
4.這樣，就將連續信號轉化爲離散信號了（時域、頻域都離散）
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