數理方程突擊複習_2、典型方程和定解條件的推導_數理方程總複習總結2

定解條件

背景：在建立方程的過程中，僅考慮了系統內部各部分間的相互作用，以及外界對系統內部的作用。而一個確定的物理過程還要受到歷史情況的影響和周圍環境通過邊界對運動的制約。

泛定方程：反映系統內部作用導出的偏微分方程

定解條件：確定運動的制約條件。

初始條件（歷史情況的影響）

邊界條件（周圍環境對邊界的影響）

第I類邊界條件（給頂端點值）：u∣x=xi=μi(t)

u∣x=xi​​=μi​(t)

第II類邊界條件（給定端點梯度）：∂u∂n∣x=xi=fi(t)

∂n∂u​∣x=xi​​=fi​(t)

第III類邊界條件（混合I&II）：[aiu+βi∂u∂n]x=xi=Fi(t)

[ai​u+βi​∂n∂u​]x=xi​​=Fi​(t)

銜接條件（系統內部邊界）

定解問題：泛定方程配以適當的定解條件構成一個偏微分方程

1.初始條件

對於隨着時間發展變化的物理過程，某一時刻的狀態將影響該時刻以後的過程，該時刻的狀態便是初始條件。如弦振動問題中，影響絃今後運動的條件有兩個
初位移u∣t=0=ψ(x)初速度∂u∂t∣t=0=ψ(x)
初位移u∣t=0​=ψ(x)初速度∂t∂u​∣t=0​=ψ(x)
在熱傳導問題中，影響今後溫度變化的則是初始時刻的溫度分佈
u∣t=0=ψ(x)u∣t=0​=ψ(x)
從數學上講，初始條件是給出未知函數u及其關於某個自變量t的若干階偏導函數在同一時刻t=t0t=t0​的值。如果方程中關於t的最高階導數是m階的，則應給出u,∂u∂t,…,∂m−1u∂tm−1u,∂t∂u​,…,∂tm−1∂m−1u​在t=t0

t=t0​的值。

2.邊界條件

在弦振動問題中，對一條有限長的弦(x1≤x≤x2
x1​≤x≤x2​)，端點x=x1,x=x2x=x1​,x=x2​的運動狀態對整根弦的運動有制約。以左端點x=x1x=x1​爲例，最簡單的情況是端點運動狀態已知，即
u∣x=x1=u1(t)u∣x=x1​​=u1​(t)
稱爲第I類邊界條件（給定端點值）。當端點固定在平衡位置時，μ1(t)≡0

μ1​(t)≡0，稱爲第I類齊次邊界條件。

如果端點負荷已知，x=x1
x=x1​點受橫向外力F1(t)=F1(t)u。F1​(t)=F1​(t)u。。如圖所示，在左端點取微元[x1,x1+dx][x1​,x1​+dx]，在u。u。方向該微元滿足牛頓第二定律
ρdx∂2u∂t2∣x=x1=F1(t)+Tsinθ∣x1+dx=F1(t)+T∂u∂x∣x1+dx=F1(t)+T∂u∂x∣x=x1+T∂2u∂x2dxρdx∂t2∂2u​∣x=x1​​=F1​(t)+Tsinθ∣x1​+dx​=F1​(t)+T∂x∂u​∣x1​+dx​=F1​(t)+T∂x∂u​∣x=x1​​+T∂x2∂2u​dx
又有波動方程得，上式方程化簡爲
0=F1(t)+T∂u∂x∣x10=F1​(t)+T∂x∂u​∣x1​​
得邊界條件
∂u∂x∣x1=−F1(t)T∂x∂u​∣x1​​=−TF1​(t)​
這裏給出的是∂u∂x

∂x∂u​在端點的值，稱爲第II類邊界條件（端點的受力已知，給定端點處的梯度）。

類推得

∂u∂n∣xi=fi(t),i=1,2
∂n∂u​∣xi​​=fi​(t),i=1,2

如果端點彈性支撐，即端點除負荷F1(t)=F1(t)u。F1​(t)=F1​(t)u。外，還有彈性力P→=−ku(t,x1)u。P
=−ku(t,x1​)u。，k爲彈性係數，則端點的運動需滿足。
∂u∂x∣x1=−F1(t)−ku(t,x1)T∂x∂u​∣x1​​=−TF1​(t)−ku(t,x1​)​
即混合邊界條件爲
[ku−T∂u∂x]x1=F1(t)[ku−T∂x∂u​]x1​​=F1​(t)
此邊界條件以uu和∂u∂x∂x∂u​的線性組合給出，稱爲第III類邊界條件（端點彈性支撐）。如果非彈性負荷F1(t)≡0F1​(t)≡0，則爲第III類齊次邊界條件。

對於右端點x=x2x=x2​，可同樣導出這三類邊界條件，與左端點不同的是在∂u∂x∂x∂u​項前添負號。如果用nn表示端點的外法向，則左右兩端的三類邊界條件可統一表示爲uu和∂u∂n∂n∂u​的線性組合
x[aiu+βi∂u∂n]xi=Fi(t),i=1,2

x[ai​u+βi​∂n∂u​]xi​​=Fi​(t),i=1,2
邊界條件：三維熱傳導問題

第I類邊界條件（當物體邊界溫度已知時）：
u(t,x,y,z)∣∂V=μ(t,x,y,z)∣∂V

u(t,x,y,z)∣∂V​=μ(t,x,y,z)∣∂V​
當邊界溫度保持零度時，得第I類齊次邊界條件。

當邊界上沿外法向n
n的熱流密度q(t,x,y,z)q(t,x,y,z)已知時，由熱傳導定律導出第II類邊界條件
∂u∂n∣∂V=−q(t,x,y,z)k∣∂V∂n∂u​∣∂V​=−kq(t,x,y,z)​∣∂V​
其中，k爲熱傳導係數。常見的邊界絕熱情況，相應於第II類齊次邊界條件。

如果物體通過邊界與外界自由熱交換，在邊界面上(x,y,z)處取小面元dsds，在時間段[t,t+dt][t,t+dt]內從物體內部流入面元dsds的熱量爲
Qin=−k∂u∂n∣(t,x,y,z)dsdtQin​=−k∂n∂u​∣(t,x,y,z)​dsdt
根據牛頓冷卻定律（冷卻速率與該溫度與溫室的溫差成正比），從外部流入面元的熱量爲
Qout=h(Toutside−u)∣(t,x,y,z)dsdtQout​=h(Toutside​−u)∣(t,x,y,z)​dsdt
h爲兩種物質間的熱交換系數，Toutside=Toutside(x,y,z,t)

Toutside​=Toutside​(x,y,z,t)爲外界的溫度

能量守恆定律決定了熱量不能在面元上積聚，從而有
−k∂u∂n∣∂Vdsdt+h(Toutside−u)∣∂Vdsdt=0

−k∂n∂u​∣∂V​dsdt+h(Toutside​−u)∣∂V​dsdt=0

[hu+k∂u∂n]∂V=hToutside∣∂V

[hu+k∂n∂u​]∂V​=hToutside​∣∂V​

當外界溫度爲0時，爲第III此齊次邊界條件。

在靜電場問題中，最常見的是邊界接地的情況，此時電位滿足第I類齊次邊界條件u∣∂V=0
u∣∂V​=0.

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