[FJOI2016] 建築師

題目描述

小 Z 是一個很有名的建築師，有一天他接到了一個很奇怪的任務：在數軸上建 n$n$ 個建築，每個建築的高度是 1$1$ 到 n$n$ 之間的一個整數。小 Z 有很嚴重的強迫症，他不喜歡有兩個建築的高度相同。另外小 Z 覺得如果從最左邊（所有建築都在右邊）看能看到 A$A$ 個建築，從最右邊（所有建築都在左邊）看能看到 B$B$ 個建築，這樣的建築羣有着獨特的美感。現在，小 Z 想知道滿足上述所有條件的建築方案有多少種？

如果建築 i 的左（右）邊沒有任何建造比它高，則建築 i 可以從左（右）邊看到。兩種方案不同，當且僅當存在某個建築在兩種方案下的高度不同。

輸入格式

第一行一個整數 T$T$ ，代表 T$T$ 組數據。

接下來 T$T$ 行，每行三個整數 n、A、B$n、A、B$ 。

輸出格式

對於每組數據輸出一行答案 mod$\text{mod}$ 109+7${10}^9+7$ 。

樣例輸入

2
3 2 2
3 1 2

樣例輸出

2
1

數據規模與約定

對於 10%$10\mathrm{\%}$ 的數據，1≤n≤10$1\le n\le 10$ 。

對於 20%$20\mathrm{\%}$ 的數據，1≤n≤100$1\le n\le 100$ 。

對於 40%$40\mathrm{\%}$ 的數據，1≤n≤50000，1≤T≤5$1\le n\le 50000，1\le T\le 5$ 。

對於 70%$70\mathrm{\%}$ 的數據，1≤n≤50000，1≤T≤2000$1\le n\le 50000，1\le T\le 2000$ 。

對於 100%$100\mathrm{\%}$ 的數據，1≤n≤50000，1≤A、B≤100，1≤T≤200000$1\le n\le 50000，1\le A、B\le 100，1\le T\le 200000$ 。

題解

首先，我們考慮暴力該怎麼做。
記 fi,j,k$f_{i,j,k}$ 爲 前 i$i$ 箇中， 從左邊能看到 j$j$ 個， 從右邊能看到 k$k$ 個的方案數。
則 fi,j,k=fi−1,j−1,k+fi−1,j,k−1+fi−1,j,k×(i−2)$f_{i,j,k}=f_{i-1,j-1,k}+f_{i-1,j,k-1}+f_{i-1,j,k}\times (i-2)$
因爲左右兩邊是鏡像關係，所以我們只要處理出 fi,j$f_{i,j}$ 爲放了 i$i$ 個，從一側能看到 j$j$ 個的方案數即可。
這樣就有 40$40$ 分了。
然後我們設去掉最高的點之後， 當前從左邊能看到的爲 a$a$ 個， 從右邊能看到的爲 b$b$ 個，我們每次加一條邊有三種情況。
第一種情況爲 a+1$a+1$ ， 第二種情況爲 b+1$b+1$ ， 第三種情況爲 a,b$a,b$ 不變。
對於第一第二種都各有 1$1$ 種情況。
對於第三種的可能隨着我們選邊的進行從 n−2$n-2$ 遞減到 0$0$ 。
則設 fi,j$f_{i,j}$ 爲選了 i$i$ 個點，有 j$j$ 個點改變了 a$a$ 或 b$b$ 的方案數。
則 fi,j=fi−1,j−1+fi−1,j×(i−1)$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}\times (i-1)$
然後其中有 A−1$A-1$ 個點是用來改變 a$a$ 的。
則最後的答案爲 CA−1A+B−2×fn−1,A+B−2$C_{A+B-2}^{A-1}\times f_{n-1,A+B-2}$
然後這是個斯特林數？？？
嗯沒錯，就是個第一類斯特林數。
所以答案爲 CA−1A+B−2×SA+B−2n−1$C_{A+B-2}^{A-1}\times S_{n-1}^{A+B-2}$
額說一下爲什麼是第一類斯特林數吧。
我們設除去最高的點之後，每個點之後被擋住了 x$x$ 個點。
則這 x$x$ 個點有 x!$x!$ 種方案。
算上擋住這些點的固定的那一個點，則這些點的方案數即爲這些點的圓排列的方案數。
所以題意即爲在去掉最高點之後的 n−1$n-1$ 個數中劃分出 A+B−2$A+B-2$ 個圓排列並選出 A−1$A-1$ 個放在左邊。
所以答案如上。
不知道有人是怎麼打表看出來的，真的是神仙啊。

代碼

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>

#define R register
#define ll long long
#define db double
#define sqr(_x) (_x) * (_x)
#define Cmax(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) = (_b), 1 : 0)
#define Cmin(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) = (_b), 1 : 0)
#define Max(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) : (_b))
#define Min(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) : (_b))
#define Abs(_x) (_x < 0 ? (-(_x)) : (_x))

using namespace std;

namespace Dntcry
{
    inline int read()
    {
        R int a = 0, b = 1; R char c = getchar();
        for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) (c == '-') ? b = -1 : 0;
        for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = (a << 1) + (a << 3) + c - '0';
        return a * b;
    }
    inline ll lread()
    {
        R ll a = 0, b = 1; R char c = getchar();
        for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) (c == '-') ? b = -1 : 0;
        for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = (a << 1) + (a << 3) + c - '0';
        return a * b;
    }
    const int Maxn = 50010, Maxl = 210, Mod = 1000000007;
    int T, n, A, B;
    ll S[Maxn][Maxl], C[Maxl][Maxl];
    void init(R int tmp1, R int tmp2)
    {
        for(R int i = 0; i <= tmp1; i++)
        {
            S[i][0] = 0;
            if(i <= tmp2) S[i][i] = 1;
            for(R int j = 1; j <= Min(i, tmp2); j++) 
                S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + (i - 1) * S[i - 1][j] % Mod) % Mod;
        }
        for(R int i = 0; i <= tmp2; i++) 
        {
            C[i][0] = 1;
            for(R int j = 1; j <= i; j++) 
                C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % Mod;
        }
        return ;
    }
    int Main()
    {
        init(50000, 200);
        T = read();
        while(T--)
        {
            n = read(), A = read(), B = read(); 
            printf("%lld\n", S[n - 1][A + B - 2] * C[A + B - 2][A - 1] % Mod);
        }
        return 0;
    }
}
int main()
{
    return Dntcry :: Main();
}