[FJOI2016] 建筑师

题目描述

小 Z 是一个很有名的建筑师，有一天他接到了一个很奇怪的任务：在数轴上建 n$n$ 个建筑，每个建筑的高度是 1$1$ 到 n$n$ 之间的一个整数。小 Z 有很严重的强迫症，他不喜欢有两个建筑的高度相同。另外小 Z 觉得如果从最左边（所有建筑都在右边）看能看到 A$A$ 个建筑，从最右边（所有建筑都在左边）看能看到 B$B$ 个建筑，这样的建筑群有着独特的美感。现在，小 Z 想知道满足上述所有条件的建筑方案有多少种？

如果建筑 i 的左（右）边没有任何建造比它高，则建筑 i 可以从左（右）边看到。两种方案不同，当且仅当存在某个建筑在两种方案下的高度不同。

输入格式

第一行一个整数 T$T$ ，代表 T$T$ 组数据。

接下来 T$T$ 行，每行三个整数 n、A、B$n、A、B$ 。

输出格式

对于每组数据输出一行答案 mod$\text{mod}$ 109+7${10}^9+7$ 。

样例输入

2
3 2 2
3 1 2

样例输出

2
1

数据规模与约定

对于 10%$10\mathrm{\%}$ 的数据，1≤n≤10$1\le n\le 10$ 。

对于 20%$20\mathrm{\%}$ 的数据，1≤n≤100$1\le n\le 100$ 。

对于 40%$40\mathrm{\%}$ 的数据，1≤n≤50000，1≤T≤5$1\le n\le 50000，1\le T\le 5$ 。

对于 70%$70\mathrm{\%}$ 的数据，1≤n≤50000，1≤T≤2000$1\le n\le 50000，1\le T\le 2000$ 。

对于 100%$100\mathrm{\%}$ 的数据，1≤n≤50000，1≤A、B≤100，1≤T≤200000$1\le n\le 50000，1\le A、B\le 100，1\le T\le 200000$ 。

题解

首先，我们考虑暴力该怎么做。
记 fi,j,k$f_{i,j,k}$ 为 前 i$i$ 个中， 从左边能看到 j$j$ 个， 从右边能看到 k$k$ 个的方案数。
则 fi,j,k=fi−1,j−1,k+fi−1,j,k−1+fi−1,j,k×(i−2)$f_{i,j,k}=f_{i-1,j-1,k}+f_{i-1,j,k-1}+f_{i-1,j,k}\times (i-2)$
因为左右两边是镜像关系，所以我们只要处理出 fi,j$f_{i,j}$ 为放了 i$i$ 个，从一侧能看到 j$j$ 个的方案数即可。
这样就有 40$40$ 分了。
然后我们设去掉最高的点之后， 当前从左边能看到的为 a$a$ 个， 从右边能看到的为 b$b$ 个，我们每次加一条边有三种情况。
第一种情况为 a+1$a+1$ ， 第二种情况为 b+1$b+1$ ， 第三种情况为 a,b$a,b$ 不变。
对于第一第二种都各有 1$1$ 种情况。
对于第三种的可能随着我们选边的进行从 n−2$n-2$ 递减到 0$0$ 。
则设 fi,j$f_{i,j}$ 为选了 i$i$ 个点，有 j$j$ 个点改变了 a$a$ 或 b$b$ 的方案数。
则 fi,j=fi−1,j−1+fi−1,j×(i−1)$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-1,j}\times (i-1)$
然后其中有 A−1$A-1$ 个点是用来改变 a$a$ 的。
则最后的答案为 CA−1A+B−2×fn−1,A+B−2$C_{A+B-2}^{A-1}\times f_{n-1,A+B-2}$
然后这是个斯特林数？？？
嗯没错，就是个第一类斯特林数。
所以答案为 CA−1A+B−2×SA+B−2n−1$C_{A+B-2}^{A-1}\times S_{n-1}^{A+B-2}$
额说一下为什么是第一类斯特林数吧。
我们设除去最高的点之后，每个点之后被挡住了 x$x$ 个点。
则这 x$x$ 个点有 x!$x!$ 种方案。
算上挡住这些点的固定的那一个点，则这些点的方案数即为这些点的圆排列的方案数。
所以题意即为在去掉最高点之后的 n−1$n-1$ 个数中划分出 A+B−2$A+B-2$ 个圆排列并选出 A−1$A-1$ 个放在左边。
所以答案如上。
不知道有人是怎么打表看出来的，真的是神仙啊。

代码

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <ctime>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <set>
#include <stack>

#define R register
#define ll long long
#define db double
#define sqr(_x) (_x) * (_x)
#define Cmax(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) = (_b), 1 : 0)
#define Cmin(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) = (_b), 1 : 0)
#define Max(_a, _b) ((_a) > (_b) ? (_a) : (_b))
#define Min(_a, _b) ((_a) < (_b) ? (_a) : (_b))
#define Abs(_x) (_x < 0 ? (-(_x)) : (_x))

using namespace std;

namespace Dntcry
{
    inline int read()
    {
        R int a = 0, b = 1; R char c = getchar();
        for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) (c == '-') ? b = -1 : 0;
        for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = (a << 1) + (a << 3) + c - '0';
        return a * b;
    }
    inline ll lread()
    {
        R ll a = 0, b = 1; R char c = getchar();
        for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) (c == '-') ? b = -1 : 0;
        for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) a = (a << 1) + (a << 3) + c - '0';
        return a * b;
    }
    const int Maxn = 50010, Maxl = 210, Mod = 1000000007;
    int T, n, A, B;
    ll S[Maxn][Maxl], C[Maxl][Maxl];
    void init(R int tmp1, R int tmp2)
    {
        for(R int i = 0; i <= tmp1; i++)
        {
            S[i][0] = 0;
            if(i <= tmp2) S[i][i] = 1;
            for(R int j = 1; j <= Min(i, tmp2); j++) 
                S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + (i - 1) * S[i - 1][j] % Mod) % Mod;
        }
        for(R int i = 0; i <= tmp2; i++) 
        {
            C[i][0] = 1;
            for(R int j = 1; j <= i; j++) 
                C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % Mod;
        }
        return ;
    }
    int Main()
    {
        init(50000, 200);
        T = read();
        while(T--)
        {
            n = read(), A = read(), B = read(); 
            printf("%lld\n", S[n - 1][A + B - 2] * C[A + B - 2][A - 1] % Mod);
        }
        return 0;
    }
}
int main()
{
    return Dntcry :: Main();
}