算法导论第二章 思考题

算法导论第二章

思考题

2-1

• 证明：
  已知插入排序的最坏情况运行时间为$Θ(n^{2})$，且我们使用插入排序来排序长度为$k$的$n/k$个子表。
  长度为$k$的一个子数组，用插入排序其最坏情况运行时间为$Θ(k^{2})$，且有$n/k$个子表，得出$Θ(\dfrac{n}{k} \times k^{2})$，结果为$Θ(nk)$

• 举个例子：当一个总长度为$n$的输入$(n > 1)$，经过一次归并排序递归后，将$n$一分为二，也就是$n / 2$，如果$k$为代表的当前这次的长度$n / 2$，则我们可以得出层数：
  $lg(n/k)+1==log_{2}(n / k)+1==log_{2}(n / \dfrac{n}{2})+1==log_{2}(2)+1==2$
  得到层数为2。
  同理，当我们再一次经过归并排序递归后，$n/2$再次一分为$2$，也就是$(n/2)/2==n/4$，$k$为$n/4$，代入上面的式子，得出层数3。
  我们可以得出，$lg(n/k)+1$即为归并排序递归的层数，因为合并算法MERGE的最坏情况运行时间为$Θ(n)$，得出$nlg(n/k)+n$，去掉常量，得出$Θ(nlg(n/k))$

• ‎最大值是‎‎$k‎‎=‎‎lg‎‎n$‎，如果我们替代，我们得到：‎
  $Θ(nlgn+nlg\dfrac{n}{lgn})=Θ(nlgn)$
  如果‎$k=f‎(n‎)>‎‎lg‎‎n‎‎$，复杂性将是$Θ(nf(n))$‎，它比合并排序的运行时间大

• It’s constant factors, so we just figure out when insertion sort beats merge
  sort, exactly as we did in exercise 1.2.2, and pick that number for k.
  (这是常数因子，所以我们只找出插入排序比合并排序，完全像我们在练习 $1.2.2$中所做的那样，并选择该数字$K$.)

2-2

BUBBLESORT(A)
1   for i = 1 to A.length - 1                       // i = 1，下标i从第一个元素一直循环到i大于A.length - 1停止
2       for j = A.length downto i + 1               // j = A.length，下标j从最后一个元素循环递减到小于i + 1停止
3           if A[j] < A[j - 1]
4               exchange A[j] with A[j - 1]         // 如果A[j]小于A[j - 1]，则交换这两个元素的值

• We need to prove that A’ consists of the original elements in A, although in (possibly) different order.
  (我们需要证明A’由A中的原始元素组成，尽管顺序可能不同。)

• 循环不变式$(2$~$4)$：
    （1）总是从最后一个元素开始递减，且后前一位元素进行判断交换
    （2）每循环一次后，$A[j]$是$A[j..A.length]$中最小的元素
  证明：
      初始化：循环的第一次迭代$i$为首元素，$j$为尾元素，判断式为真，开始执行循环
      保持：进行$A[j]$和$A[j - 1]$的判断，如果$A[j] > A[j - 1]$则交换换元素中的数据，我们可以得知，$A[j]$将会是$A[j]和A[j-1]$中最小的一个，同理，$A[j]$也会是$A[j..A.length]$中最小的。
      终止：因为每次循环后，$A[j]$总是$A[j..A.length]$中最小的，所以退出循环后，$A[i]$将会是$A[i..A.length]$中最小的数字

• 循环不变式$(1$~$4)$:
    （1）每次循一次后，$A[1..i]都是排好序的$
  证明：
      初始化：循环的第一次迭代$i$为首元素，且循环至$i$大于$A.length-1$，第一次判断式为真，开始执行循环
      保持：已经证明了每当执行完次$(2$~$4)$循环时，$A[j]$是$A[j..A.length]$中最小的元素，得到当前循环每迭代循环一次，其$A[1..i]$将总是排序好的
      终止：当$i$大于$A.length-1$终止，$A[1..i]$将是排序好的，也相当于说$A[1..A.length-1]$是排序好的，最后一个元素不用排序，因为它一定是A中最大元素，也理应在最后一位

• 最坏情况运行时间为$Θ(n^{2})$

 BUBBLESORT(A)
 1   for i = 1 to A.length - 1				c1		n
 2       for j = A.length downto i + 1			c2   		①
 3           if A[j] < A[j - 1]				c3   		②
 4               exchange A[j] with A[j - 1]		c4   		②

   ①  $\sum ^{n}_{j=2}t_{j}$
   ②  $\sum ^{n}_{j=2}\left( t_{j}-1\right)$

   该算法的运行时间（执行每条语句的运行时间之和）是：

   $T\left( n\right) =C_{1}n+C_{2}\sum ^{n}_{j=2}t_{j}+C_{3}\sum ^{n}_{j=2}\left( t_{j}-1\right)+C_{4}\sum ^{n}_{j=2}\left( t_{j}-1\right)$

   其中我们注意到：

      $\sum ^{n}_{j=1}t_{j}$ = $\left( \dfrac {n\left( n+1\right) }{2}-1\right)$

      $\sum ^{n}_{j=2}\left( t_{j}-1\right)$ = $\dfrac {n\left( n-1\right)}{2}$

   最坏情况运行时间
   $T\left( n\right) =C_{1}n+C_{2}\left( \dfrac {n\left( n+1\right) }{2}-1\right)+C_{3}\left( \dfrac {n\left( n-1\right)}{2}\right)+C_{4}\left( \dfrac {n\left( n-1\right)}{2}\right)$

      $=\left( \dfrac {C_{2}}{2}+\dfrac {C_{3}}{2}+\dfrac {C_{4}}{2}\right) n^{2}+\left(C_{1}+\dfrac {C_{2}}{2}-\dfrac{C_{3}}{2}-\dfrac{C_{4}}{2}\right)n-C_{2}$

   我们可以表示为：$an^{2}+bn+c$
   忽略掉低阶项和最重要的项的常系数时，只剩下重要的项中的因子$n^{2}$,得出运行时间为$Θ\left(n^{2}\right)$

   与插入算法相比，感觉半斤八两吧

2-3

• $Θ(n)$
• 该算法的运行时间是$Θ(n)$，与霍纳规矩相比，霍纳规矩的性能更好

Polynomial(A, n)     // A为a0..an，A.length == n
1   if n == 0
2       return A[A.length - n]
3   return A[A.length - n] + x * Polynomial(A, n - 1)

• 算法导论第二章思考题2-3$($自己看$)$
• It should be fairly obvious, but the invariant of the loop is a sum that equals a polynomial with the given coefficients.
  （这应该是很明显的，但是循环不变式是一个等于给定系数的多项式的和。）

2-4

• $(6, 1)、(8, 1)、(3, 1)、(2, 1)、(8, 6)$
• 一个递减排好序得数组具有最多得逆序对，具有$\sum^{n-1}_{j=1}t_{j}$，也就是$\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}$个逆序对
• 算法导论第二章思考题2-4$($自己看$)$
• 算法导论第二章思考题2-4$($自己看$)$