組合數學中楊輝三角與二項式定理以及代碼實現

首先給出楊輝三角（也叫帕斯卡三角形數陣，但我們中國比他早300年）如上圖，可以發現三角兩邊都是1，而中間的數都是上面兩個數的和，滿足dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-1]這樣的遞推關係。
然後再來看$(a+b)^{n}$，將它展開會得到：
$(a+b)^{0}=1$
$(a+b)^{1}=a+b$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b^{}+3a^{}b^{2}+b^{3}$
可以發現每項前面的係數和楊輝三角中的數字很吻合。我們再來看二項式定理：
$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n} C^{k}_{n}a^{n-k}b^{k}\qquad$
那麼二項式定理表示的是什麼意義呢，首先這相當於n個（a+b）相乘，那麼在每個括號裏肯定要選出a或者b來和另外幾個括號中的a或者b來相乘，那麼有多少種情況呢，我們假設在這n個括號中選擇了k個b，那麼剩下的就是n-k個a了，情況總數是$C^{k}_{n}$或者$C^{n-k}_{n}$根據組合數的性質，這兩個數是相等的。
然後我們就可以證明下面這個等式：
$C^{m}_{n}=C^{m-1}_{n-1}+C^{m}_{n-1}$
這個可以這麼理解一下：
在n件物品中選出m件物品有多少種可能性？
答案是：從n-1件中選出m-1件的可能性+從n-1件中選出m件的可能性。（第m件物品可選可不選）
這和上面楊輝三角形有非常密切的聯繫，和其所滿足的遞推式也異常相似。（證明好長，明白就好了。。）
通過這個等式我們可以推出所有的組合數。

for(int i=1;i<=1000;i++)
    {
        c[i][0]=1;c[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
    }

很明顯時間複雜度$O(n^{2})$
但還有一個可以求非常小範圍組合數的等式：
$C^{k}_{n}=\frac{n-k+1}{k}C^{k-1}_{n}$
下面是證明過程：
$C^{k}_{n}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
$=\frac{n(n-1)(n-2)....(n-k+1)}{k(k-1)!}$
$=\frac{n-k+1}{k}\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}(上下同乘(n-k+1)!)$
$=\frac{n-k+1}{k}C^{k-1}_{n}$

int n;
    cin>>n;
    c[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]*(n-i+1)/i;\\先乘後除