非傳統定點數（一）

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非傳統定點數（一）

有符號數（Signed Digit Number，SD）

​ SD 和 SM（Signed-Magnitude）不同，具有三重值 $\{0,1,-1\}$ 其中 -1 也常寫成 $\overline{1}$ .已經證明SD數應用在不用進位的加法器和乘法器中能夠降低複雜性。

SD碼編碼示例：
$14_{10}=16_{10}-2_{10}=100\overline10$

$14_{10}=8_{10}+4_{10}+2_{10}=01110$

​ 可以看出SD碼是不唯一的。事實上，要降低乘法的工作量，需要降低運算中非零元素的數量。我們稱擁有最少非零元素的SD碼爲CSD碼。

最佳CSD編碼

最佳CSD編碼：

1. 從最低有效位開始，用 $10\cdots0\overline1$ 取代所有大於 2 的 1 序列。此外，還需要用 $110\overline1$ 取代 $1011$
2. 從最高位開始，用 $011$ 代替 $10\overline1$

該方法給出一個非零元素最少的SD碼，且其中的減法次數最少。

示例：
$27_{10}=11011_{CSD}=1110\overline1_{CSD}=10\overline10\overline1_{CSD}$
雖然第一步沒有減少非零元素的個數，但是它使用加法替代了減法。最終，這一算法將 3 次加法簡化爲了兩次減法。

​ 觀察 $011_2$ ，如果將其轉換爲 $10\overline1$ ，那麼實際上是複雜化了運算，將一次加法變成了一次減法。這也就是最佳CSD編碼第二步操作的意義。

分數CSD編碼

​ 使用整型數實現分數會導致很大的誤差，使用CSD編碼可以降低這一誤差。

例如$y=7x/8$，可以寫成以下幾種實現方式：
$y0=(7x)/8$

$y1=(x/8)*7$

$y2=((4+2+1)x)/8=(x/2)+(x/4)+(x/8)$

$y3=((8-1)x)/8=x-(x/8)$

不難看出，$y2$ 是普通二進制碼，$y3$ 是CSD碼

使用Verilog實現上述代碼並觀察結果（iverilog）：

module csd(
 input [4:0] x0,
 
 output [4:0] y0,
 output [4:0] y1,
 output [4:0] y2,
 output [4:0] y3
);

assign y0 = 7*(x0)/8;
assign y1 = (x0/8)*7;
assign y2 = x0/2+x0/4+x0/8;
assign y3 = x0-x0/8;

endmodule

`timescale 1ns/100ps

module csd_tb;


reg [4:0] x0;
wire [4:0] y0;
wire [4:0] y1;
wire [4:0] y2;
wire [4:0] y3;

/*iverilog */
initial
begin            
 $dumpfile("wave.vcd");        //生成的vcd文件名稱
 $dumpvars(0, csd_tb);    //tb模塊名稱
end
/*iverilog */
initial
begin
 x0 = 1;
 #10
     x0 = 3;
 #20
     x0 = 6;
 #30
     x0 = 9;
 #100
     $stop;
end


csd cds_ut0 (
 .x0(x0),

 .y0(y0),
 .y1(y1),
 .y2(y2),
 .y3(y3)
);


endmodule

輸出結果如下：

可以看出CSD碼有效的降低了量化誤差。因爲實際上除以2的冪的除法是通過移位實現的，誤差最大的 $y1$ 實際上在第一步就已經損失了低3位。

自由進位加法器

​ SD編碼可以實現自由進位加法，通過LUT進行計算，表如下：

​ 實現上表需要一個 $2^8\times4$ 的LUT，計算出 $u_k$ 和 $c_k$ 後將 $c_k$ 左移一位與 $u_k$ 相加即可得到結果。

乘法-加法器圖（Multiplier Adder Graph，MAG）

​ 在最優CSD意義中，經常是先將係數分解成幾個因子，再實現具體因子效率比較高。

例如係數93的實現方式可以有以下幾種：
$93=3\times31=(1+2)\times(32-1)$

$93=64+32-4+1$

用流程圖表示如下：

對數系統（Logarithmic Number System，LNS）

​ 對數系統與固定尾數和分數指數構成的浮點數制類似，使用如下方式表示：
$x=\pm r^{\pm e_x}$
​ 其中 $r$ 是數制的基數，$e_x$ 是對數數制的指數。

舉例說明其在計算機中的格式：

假設一個基數爲 2 的 9 位 LNS 數，其構成爲兩個符號位，三位整數精度和四位分數精度：00 011.0010，格式如下：

符號 $S_x$	指數符號 $S_e$	指數整數位 $I$	指數分數位 $F$
0	1	100	1110

其十進制表達式爲：
$2^{-3-1/8}=2^{-3.125}$
注意到指數部分使用補碼錶示。

​ 9 位 LNS 能表示的最大數是 $2^{8-1/16}\approx256$，最小數是 $2^{-8}=0.0039$，和傳統定點數相比 LNS 在數字較小的時候採樣率更高，更加精細。

​ 歷史上，LNS 的優勢在於能夠有效實現乘法、除法、求平方根或平方，因其可以將以上運算轉換爲加法、除法和乘法。但是加法和減法的複雜度會增加，加減法使用如下方式進行：

假設 $A>B$
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ C&=A+B=2^{e_a}…
可以得到 $e_c=e^a+log_2(\phi^+(\Delta))$。同理，對於減法有 $\phi^-(\Delta)=1-2^{e_b-e_a}$，$e^c=e^a+log_2(\phi^-(\Delta))$

參考文獻：Digital Signal Processing with Field Programmable Gate Arrays --U.Meyer-Baese