非傳統定點數（二）-- 餘數系統（Residue Number System，RNS）

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非傳統定點數（二）

餘數系統（Residue Number System，RNS）

簡介

RNS 系統考慮正整數基集 $\{m_1,m_2,\dots,m_l\}$ 的情況下定義，其中 $m_1$ 是相對（對偶）的質數。表示數字的動態範圍 $M=\prod^L_{l=q}m_l$ ，對於有符號數， $X\in[-M/2,M/2]$ 。整數 $X$ 到通過 $x_l=X\ mod\ m_l$ 映射到 RNS數組 $(x_1,x_2,\dots,x_l)$。

假設 $\square$ 爲加、減、乘運算，如果 $X,Y,Z\in Z_M$ 有：
$Z=X\square Y\ mod\ M$

例：

大多數 RNS 系統中採用小型 RAM 表或 ROM 表來實現整數到 RNS 數組的映射。實現除法或幅值縮放時，將 RNS 轉回整數進行操作，使用中國剩餘定理（Chinese Remainder Theorem，CRT）與混合基數轉換（Mixed-radix conversion，MRC）算法完成轉換。通常設計所需要的 RNS 計算輸出遠小於動態範圍 M，此時有一種稱爲 $\varepsilon-CRT$ 的高效算法實現實時轉換。

索引算法

索引算法也是 RNS 的變化之一，其在某些方面和 LNS 相似。根據數論可知：存在一個本原元素，一個生成元 $g$ 也就是：
$a\equiv g^\alpha\ mod\ p$
這一公式可以生成 $Z_p$ 域內除零之外的所有元素。將索引 $a$ 與生成元 $g$ 和整數 $\alpha$ 之間的關係表述爲 $\alpha=ind_g(a)$，爲了表示 $a=0$ 我們認爲 $ind_g(0)=-\infty$ 。

索引乘法器（Index Multiplier）

假設$a\times b=n$ ，RNS 數的乘法運算可以按照如下方式進行：

1. 把 $a,b$ 映射到索引域，$\alpha=ind_g(a),\beta=ind_g(b)$
2. 將索引數值相加並模 $p-1$ ，$v=(\alpha+\beta)\ mod\ (p-1)$
3. 將所得的和映射回到初始索引域中，$v=ind_g(n)$

示例：

一個 $p=17,g=3$ 生成的譯碼錶如下所示

$a$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
$ind_3(a) $	$-\infty$	0	14	1	12	5	15	11	10	2	3	7	13	4	9	6	8

計算 $a=2,b=4$ 的乘積：
$(ind_3(2)+ind_3(4))\ mod\ 16=(14+12)\ mod\ 16=10$

查表可得 $10=ind_3(8)$ ，則得到結果 $2\times4=8$

索引域中的加法

要在索引域中進行加法，一種方法是把索引 RNS 轉換回 RNS 進行加法後再轉換到索引域。另一種方法根據 Zech 對數。

定義： Zech對數
$Z(n)=ind_g(1+g^n)\lrarr g^{Z(n)}=1+g^n$
觀察索引域中的求和運算：
$a+b=g^\alpha +g^\beta=g^\beta(1+g^{\alpha-\beta})$
可以改寫成
$a+b=g^{\beta+Z(\alpha-\beta)}$

例：對於質數模 $p=17,g=3$，Zech 對數表如下：

$n$	$-\infty$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
$Z(n)$	0	14	12	3	7	9	15	8	13	$-\infty$	6	2	10	5	4	1	11

計算 $2+5$：
$2+5=3^{14}+3^5=3^5(1+3^9)=3^{5+Z(9)}=3^{11}\equiv7\ mod\ 17$

利用QRNS計算複數乘法

當使用 RNS 碼對複數進行編碼時，形成的數制稱爲複數 RNS（CRNS）。CRNS 進行復數加法時需要兩次實數加法。CRNS 乘法需要四個實數乘積，一次加法和一次減法。但是當使用二次 RNS（QRNS）時，可以簡化爲兩次乘法。

QRNS建立在 $p=4k+1$ 形式的高斯質數已知性質的基礎上，其中 $k$ 是正整數。$Z_p$ 中多項式 $x^2+1$ 有兩個根 $\hat J,-\hat J$ 其中 $\hat J,-\hat J$ 是屬於餘數類 $Z_p$ 的實整數。將一個 CRNS 轉換爲 QRNS 的過程如下：
$f(a+jb)=((a+\hat Jb)\ mod\ p,(a-\hat Jb)\ mod\ p)=(A,B)$
在QRNS中，乘法和加法按分量實現：
$(a+jb)+(c+jd)\lrarr(A+C,B+D)\ mod\ p$

$(a+jb)(c+jd)\lrarr(AC,BD)\ mod\ p$

絕對值的平方按以下方式實現：
$|a+jb|^2\lrarr(AB)\ mod\ p$
從 QRNS 轉換爲 CRNS 的過程如下：
$f^{-1}(A,B)=2^{-1}(A+B)+j(2\hat J)^{-1}(A-B)\ mod\ p$

例：

取高斯質數 $p=13$，計算$(2+j)(3+j2)$

在 $Z_p$ 中二次方程 $x^2\equiv(-1)\ mod\ 13$ 有兩個根：
$\hat J=5,-\hat J=-5\equiv8\ mod\ 13$
將數據轉化爲QRNS 編碼：
KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ (a+jb)&=2+j\\ …

KaTeX parse error: No such environment: align at position 8: \begin{̲a̲l̲i̲g̲n̲}̲ (c+jd)&=3+j2\\…

然後按分量實現乘法：
$(A,B)(C,D)=(AC,BD)\ mod\ p\equiv(0,8)\ mod\ 13$
接下來將 QRNS 轉回 CRNS：

解方程 $2x\equiv1\ mod\ 13$ 和 $10x\equiv1\ mod\ 13$ 得 $2^{-1}\equiv7$，$(2\hat J)^{-1}=10^{-1}\equiv4$
$f^{-1}(0,8)=7(0+8)+j4(0-8)\ mod\ 13\equiv 4+j7\ mod\ 13$

下圖給出 CRNS 和 QRNS 之間的映射關係