同餘式、冪與費馬小定理

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​ 看過了整數的規律，那麼整數 $a$ 的冪 $a^1,a^2,\cdots$ 模 $m$ 是否存在規律呢？一般來說，最好識別出同餘規律的是素數，我們就從素數模開始。

​ 按照一般數論研究的方法，我們先列出一些數據，觀察其中是否存在某些規律（ $a=1,2,3,\cdots$ ）：

​ 在這些表中可以看出許多有趣的規律，在此我們介紹其中的一個——費馬小定理。這個結果由費馬最先提出，但是費馬並沒有證明。第一個證明是萊布尼茨提出的。

費馬小定理：

​ 設 $p$ 是素數， $a$ 是任意整數且 $a\not\equiv0(\ mod\ p)$ 則
$a^{p-1}\equiv 1(\ mod\ p)$

​ 在讓人頭疼的證明之前，我們先看看費馬小定理到底有什麼用。回想之前介紹過的索引餘數系統（Index RNS），就是使用 $a\equiv g^\alpha\ mod\ p$ 來表示整數的。那麼接下來對於 RNS 提出兩個問題，並使用費馬小定理解決這兩個問題：

1. 當 $\alpha$ 很大時，如何快速計算出 $a$ ？

2. 當已知 $a,\alpha,p$ 時，如何求解 $g$ ？

解:

1. 例如當計算 $2^{35}(\ mod\ 7)$ 時，利用費馬小定理可得 $2^6\equiv1(\ mod\ 7)$
   $2^{35}=2^{6\times5+5}=(2^6)^5+2^5\\ \equiv1^5\times2^5(\ mod\ 7)\equiv32(\ mod\ 7)\equiv4(\ mod\ 7)$

2. 假設解同餘式 $4\equiv x^{103}(\ mod\ 11)$ ，根據費馬小定理有 $x^{10}\equiv1(\ mod\ 11)$
   $x^{100}=(x^{10})^{10}+x^3$
   則原同餘式可以等價爲求解:
   $4\equiv x^3(\ mod\ 11)$
   則通過幾次嘗試或查找表即可完成求解。

​ 接下來開始證明費馬小定理：

​ 爲了詳細地敘述證明思路，先證明一個特例：$3^6\equiv 1(\ mod\ 7)$ 。

觀察 $x(\ mod\ 7),x=1,2,\cdots,6$ ，將其乘以3：

$x(\ mod\ 7)$	1	2	3	4	5	6
$3x(\ mod\ 7)$	3	6	2	5	1	4

​ 不難發現，第二行的數同樣還是 $123456$ ，只不過進行了重新排序，將第一行和第二行分別相乘，可以得到下面的結論：
$(3*1)(3*2)(3*3)(3*4)(3*5)(3*6)\equiv6!(\ mod\ 7)$
即：
$3^6*6!\equiv6!(\ mod\ 7)$
由於 $6!$ 和 7 互素，則可以從同餘式兩邊消去.即得證 $3^6\equiv1(\ mod\ 7)$

接下來將這一結論拓展到一般性。首先證明上面用到的一個重要結論：

斷言： 設 $p$ 是素數，$a$ 是任何整數且 $a\not\equiv0(\ mod\ p)$ 則數
$a,2a,3a,\cdots,(p-1)a\ (\ mod\ p)$
與
$1,2,3,\cdots,(p-1)\ (\ mod\ p)$
相同，只是次序不同。

證明： 由於 $a$ 是任何整數且 $a\not\equiv0(\ mod\ p)$ ，則顯然 $a,2a,3a,\cdots,(p-1)a\ (\ mod\ p)$ 中沒有一個數能夠被 $p$ 整除。假設從數列中取出兩個數 $ja,ka$ ，令 $1\leq j,k\leq p-1$ ，並假設他們同餘
$ja\equiv ka(\ mod\ p)$
則 $p\mid(j-k)a$ 由於 $p$ 不整除 $a$ ，根據素數整除性定理可以得到：
$p\mid (j-k)$
同時 $|j-k|<p-1$ ，不難看出 $j-k=0$ 即 $j=k$ 。

從這裏可以得出一個結論：$a,2a,3a,\cdots,(p-1)a$ 中任意的兩個值對模 $p$ 不同。但是僅有 $p-1$ 個數對模 $p$ 不同，即 $1,2,3,\cdots,(p-1)$，則兩數列 $a,2a,3a,\cdots,(p-1)a$，$1,2,3,\cdots,(p-1)$ 此時完成了斷言的證明。

接下來利用這一斷言證明費馬小定理：

證明： 由於數列 $a,2a,3a,\cdots,(p-1)a$ 與 $1,2,3,\cdots,(p-1)$ 相同，則
$a\cdot (2a)\cdot(3a)\cdots((p-1)a)\equiv1\cdot2\cdot3\cdots(p-1)(\ mod\ p)$

$a^{p-1}\cdot(p-1)!\equiv(p-1)!(\ mod\ p)$

由於 $(p-1)!$ 和 $p$ 互素，消去 $(p-1)!$ 則可以得到費馬小定理：
$a^{p-1}\equiv1(\ mod\ p)$

參考文獻：A Brief Introduction to Number Theory --Joseph H.Silverman